A methodology of order estimation and combination of egarch models in econometrics

Abstract

Abstract: Financial series volatility forecasting is an important area of investment, since volatility, a general term often defined as standard deviation or variance, is strongly linked to the subjective concept of risk, which investors seek to minimize. Amongst the models that are used to forecast volatility, the parametric family of autoregressive conditional heteroscedasticity (ARCH) is one of the most important, due to stationarity (constant unconditional moments) and simultaneous characteristic of reproducing time-varying conditional variance, an important property of financial series. From the ARCH family, we chose to work with EGARCH due to its asymmetrical response to gains and losses, a property found in many financial series. In this work we propose a methodology to be applied to the volatility forecasting problem, which addresses the issue of order selection and generalizes it, evaluating different order models and strategies that beyond model or order selection opt for model averaging, in which it is used a combined forecast calculated as a weighted average of each individual model s forecast. In this methodology we use synthetic instead of real data to prevent model deficiencies to compromise statistical significance of the conclusions provided by evaluations of the strategies. We apply such a framework to compare several model selection and averaging techniques, under several different orders EGARCH models and data generating processes. Amongst these techniques, the best one was based on Schwarz Information Criterion (SIC), whereas Akaike Information Criterion (AIC) led to worse performances. We devise that these results were strongly influenced by under than correct order models displaying the best performances, a discussed effect that is possible in small samples. We exploit this effect suggesting a generalized version of SIC, in which a hyperparameter is inserted into SIC calculation to raise complexity penalties given to higher order models, and show that model averaging using this generalized SIC outperformances the other strategies examined. Moreover, the methodology proposed has significant flexibility to evaluate several different models, orders and selection or averaging strategies, and is also naturally able to compare generalized SIC averaging for different values of the suggested hyperparameter, thus addressing the issue of its choice.

Séries financeiras, correspondentes a retornos obtidos ao longo do tempo através do investimento em um dado ativo, são teoricamente caracterizadas de acordo com a hipótese dos mercados eficientes. Essa hipótese limita a previsibilidade dos retornos propriamente ditos, porém não compromete a previsibilidade de suas variâncias ou desvios padrão. Tais quantidades são associadas ao termo volatilidade, neste trabalho definida como o desvio padrão condicional do retorno (condicionado à observação dos retornos passados). A predição de volatilidade é de extrema importância para o campo dos investimentos, pois está associada ao conceito subjetivo de risco. Tal importância decorre do usual interesse em otimizar a relação risco-retorno dos investimentos (maximização de retorno para um dado nível de risco, ou minimização do risco para um dado nível de retorno). Uma das aplicações mais imediatas é a precificação de derivativos (como opções de compra ou venda de ações), instrumentos cujo valor e cuja função estão intrinsecamente ligados ao risco e à volatilidade dos ativos subjacentes.Dentre os modelos paramétricos de predição de volatilidade, destaca-se na literatura a família de modelos autorregressivos com heterocedasticidade condicional (ARCH). Esses modelos conciliam a propriedade de estacionariedade com a modelagem da variância condicional dos retornos como um parâmetro variante no tempo. Essa propriedade é intrínseca das séries financeiras e compatível com a estacionariedade, pois a última requer apenas que os momentos incondicionais sejam constantes. Dentre os modelos da família ARCH, este trabalho utiliza exclusivamente o modelo EGARCH. Dentre suas vantagens em relação aos demais figura a resposta assimétrica de volatilidades futuras a retornos positivos (ganhos) e negativos (perdas), propriedade comumente associada a ativos financeiros.ObjetivosOs objetivos gerais do trabalho são: 1 estudar sob o aspecto de processamento de sinais os modelos econométricos e critérios de informação utilizados para mensuração da sua adequação, analisando estatisticamente as formulações e propriedades correspondentes; 2 contribuir para a solução do problema de predição de volatilidade focando na escolha de ordem do modelo e em métodos baseados na ponderação de predições usando diferentes modelos. Tais objetivos gerais se desdobram nos seguintes objetivos específicos: 1 apresentar três modelos paramétricos de volatilidade relacionados entre si e justificar a escolha por um desses modelos (EGARCH) para uso neste trabalho; 2 estudar dois critérios de informação para estimativa de adequação de modelos e comparar tais critérios em relação às implicações de suas propriedades para uso no contexto de ponderação de modelos; 3 propor uma metodologia para combinar predições baseadas em modelos de diferentes ordens, analisando várias estratégias de ponderação, comparando-as estatisticamente em termos dos erros médios quadráticos de predição; 4 propor uma nova estratégia de ponderação de modelos e mostrar seu melhor desempenho e erros médios quadráticos de predição.MetodologiaÉ proposta uma metodologia de avaliação de modelos de diferentes ordens, a qual inclui a seleção de uma ordem particular dentre as várias que venham a ser cogitadas, bem como de estratégias mais gerais que englobam a ponderação de todos os modelos correspondentes. A avaliação é focada na predição da volatilidade uma amostra à frente, e o erro médio quadrático de predição é a figura de mérito escolhida. Para a composição do arcabouço metodológico proposto, são analisados a teoria de ponderação de predições de modelos e dois critérios de informação. Esses critérios se mostram úteis para o cálculo de pesos utilizados para ponderar predições de modelos individuais e obter assim uma predição ponderada composta por vários modelos. A metodologia proposta utiliza dados sintéticos gerados pelos modelos escolhidos. Isso é feito para isolar dificuldades desses modelos em capturar toda a complexidade dos dados reais. Assim procura-se impedir que tais imprecisões comprometam as conclusões obtidas acerca dos desempenhos relativos de cada estratégia de predição sendo considerada. Argumenta-se que dessa maneira as conclusões podem ser inferidas com significância estatística devido ao número arbitrariamente alto de realizações consideradas na análise e da validade das premissas acerca do modelo gerador.Resultados e DiscussãoSob a abordagem metodológica sugerida, são avaliados modelos EGARCH de diversas ordens com parâmetros estimados por máxima verossimilhança. Esses modelos são utilizados para predição da volatilidade uma amostra à frente em mercados acionários de diversos países. Além dos modelos individuais, são avaliadas algumas técnicas existentes para ponderação de predições feitas usando diferentes modelos. Dentre as técnicas consideradas, a de melhor desempenho foi a estratégia de ponderação baseada no critério de informação de Schwarz (SIC). Estratégias correspondentes de predição que utilizaram o critério de informação de Akaike (AIC) obtiveram desempenho inferior. A partir da análise dos desempenhos de predição, é destacada a presença de um interessante efeito contraintuitivo, em que modelos de ordem inferior à do modelo gerador dos dados obtiveram desempenho superior ao modelo estimado com ordem correta. Tal efeito, possível em cenários de pequena (não assintótica) amostra, se mostrou de tamanha magnitude que motivou a sugestão e aplicação de um novo critério de informação. Esse critério é uma generalização empírica do critério de Schwarz, obtida através da introdução de um hiperparâmetro capaz de modular incrementos da penalização a modelos mais complexos.Considerações FinaisO critério de Schwarz generalizado utilizado como ferramenta para ponderação de modelos foi capaz de levar a desempenhos superiores aos das demais estratégias avaliadas. A metodologia proposta permite a avaliação dessa estratégia em relação às demais sendo consideradas, e endereça a questão da escolha do valor do hiperparâmetro sugerido.