Ações de grupos e geometria

Abstract

O conceito de grupo, sem sombra de dúvidas, pode ser considerado um dos mais importantes da matemática moderna. Tal conceito está presente em diversas áreas da matemática, como a geometria, a álgebra, a teoria dos números, em equações diferenciais, além de pontos da física e da química. Não é raro tentarmos reconhecer padrões e simetrias em formas de nosso cotidiano, desta mesma forma agimos quando analisamos algum objeto ou conceito matemático, como as raízes de uma equação polinomial, ou um sólido geométrico, entre outros diversos objetos a serem estudados, desta forma o fato principal que agrega aos grupos tal importância é a noção de simetria. Quando identificamos simetrias em nosso sistema, estamos imediatamente introduzindo um grupo de transformações, ou uma ação de grupos. Essa ação de grupos no conjunto é uma função do grupo no conjunto das bijeções do conjunto dado de tal forma que as operações do grupo sejam compatíveis com a composição de funções no conjunto. Já o grupo é uma abstração do conjunto de bijeções neste conjunto específico, onde podemos falar dos elementos de um grupo de maneira livre, sem qualquer referência a um conjunto externo onde ele age. Mas, considerando as aplicações que estudaremos, os grupos serão relevantes somente quando fizerem parte dos grupos de transformações. Desta forma nosso objetivo neste trabalho, é esclarecer esta inter relação entre o ponto de vista abstrato, do grupo como uma estrutura existente por si própria, e o ponto de vista concreto, do grupo agindo em outros conjuntos como bijeções, para isso pretendemos abordar vários aspectos da geometria afim sob o ponto de vista das ações de grupo.