https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/274881 2026-10-17T18:29:32Z https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/276050 Uma introdução às séries de Fourier Avila, Luiza Soethe A pesquisa intitulada como “Uma introdução às Séries de Fourier” tem como propósito o estudo de ferramentas necessárias da Análise Real para, posteriormente, aplicá-las na investigação de propriedades das Séries de Fourier. No plano de atividades, eram previstos os estudos relacionados às Séries de Fourier ainda neste projeto, mas foram necessárias alterações por motivos de saúde, que estão melhor detalhadas no relatório final. Os estudos foram iniciados com a teoria de corpos e corpos ordenados, verificando-se que o conjunto dos números racionais possui uma estrutura de corpo ordenado. No entanto, ele ainda carece de uma característica muito importante: alguns conjuntos limitados superior e/ou inferiormente não possuem supremo e/ou ínfimo, respectivamente. Nesse contexto, define-se o conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo, ou seja, todo conjunto limitado superiormente possui supremo. Em seguida, passou-se aos estudos de sequência com foco principal na ideia de limite. Entre os critérios de convergência ou não de uma sequência, destaca-se o de que toda sequência monótona e limitada é convergente. Esse resultado advém fortemente do fato que todo conjunto limitado superiormente possui supremo nos números reais. Além disso, estudou-se um caso particular das sequências: as séries, em que a sua convergência está relacionada ao limite da sequência das reduzidas. Entre os diversos critérios de convergência de série, destacam-se os testes da raiz e da razão, já que abrangem casos mais gerais utilizando o resultado de que toda série absolutamente convergente converge. A próxima etapa foi sobre topologia da reta real, estudando-se as definições de conjuntos abertos, fechados e compactos. Um conjunto é aberto quando todo ponto do conjunto é interior, enquanto um conjunto é fechado quando ele é igual ao seu fecho. Uma relação entre esses dois conceitos é de que um conjunto é fechado se, e somente se, o seu complementar é aberto. Ademais, estudou-se o conceito de compacidade de um conjunto e provou-se que um conjunto é compacto se, e somente se, ele é limitado e fechado. Finalmente, estudou-se o conceito de funções contínuas, provando que as imagens dessas funções, quando definidas em um intervalo, também são intervalos. No mesmo sentido, provou-se que funções contínuas levam compactos em compactos. Por fim, a Análise Real desenvolveu-se ao longo dos séculos e tornou-se uma linguagem fundamental para o avanço de teorias em diversas áreas da Ciência, colaborando para o desenvolvimento de tecnologias e da inovação. Tecnologia e inovação 2026-09-10T00:00:00Z https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/276040 Sistemas Dinâmicos Aleatórios Fodor, Nathan Hanashiro Iniciando pela teoria básica da Medida, foram estudados conceitos como a definição de $\sigma$-álgebra e o que é uma medida, partindo em seguida para tópicos mais avançados como funções multivaloradas mensuráveis, espaços Suslin e o Teorema da Projeção Canônica. Com o referencial teórico de Teoria da Medida suficientemente adquirido, foi estudado o foco deste trabalho, a teoria de Sistemas Dinâmicos Aleatórios. Foram vistos o conceito de conjuntos aleatórios e como atraem ou absorvem outros conjuntos aleatórios, e finalizando com a existência de atrator aleatório. Tecnologia e inovação 2026-08-31T00:00:00Z https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/275867 Introdução às Álgebras e às suas Teorias de Módulos e Representações Silva, Alexandre Graus Costa da Este trabalho apresenta uma introdução às álgebras e às suas teorias de módulos e representações, com o intuito de desenvolver um alicerce sólido para um estudo mais aprofundado sobre o tema. O trabalho divide-se em três partes: a primeira parte é dedicada ao estudo de álgebras sobre corpos, a qual culmina no teorema de isomorfismo de álgebras e na classificação de todas as álgebras de dimensão 2 sobre o corpo dos números complexos; a segunda parte é dedicada ao estudo da teoria básica de módulos sobre álgebras; por fim, a terceira parte consiste em uma breve introdução às noções de representações de álgebras, na qual se mostra que representações sobre uma álgebra podem ser associadas a módulos sobre a mesma álgebra e vice-versa, e apresenta-se o lema de Schur, o qual tem um papel de extrema importância na tarefa de classificação de álgebras semissimples de dimensão finita. Tecnologia e inovação 2026-09-10T00:00:00Z https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/275774 Grupos e suas ações: introdução à geometria do espaço-tempo e suas simetrias. Ferracini, Rafael Haas Este trabalho apresenta um estudo de grupos e suas ações com o objetivo de caracterizar a folha superior do hiperboloide unitário como um espaço quociente do grupo restrito de Lorentz. A partir de uma revisão bibliográfica, desenvolvem-se os conceitos de homomorfismos, subgrupos, classes laterais e grupos quocientes, seguidos pelo estudo de ações de grupos, órbitas e estabilizadores. Introduzem-se as formas bilineares simétricas e não degeneradas e os espaços afins necessários à definição do espaço de Minkowski, modelo geométrico do espaço-tempo da Relatividade Restrita. Nesse contexto, estudam-se a estrutura causal e as transformações lineares que preservam a forma bilinear de Minkowski, as quais constituem o grupo de Lorentz. Analisam-se seus boosts, suas componentes conexas e sua estrutura de grupo de Lie. Por fim, estabelece-se que a ação do grupo restrito de Lorentz sobre a folha superior do hiperboloide unitário é transitiva e que o estabilizador de um ponto é isomorfo a $SO(3)$, obtendo-se a identificação $\mathbb{H}^{4}_{+} \cong O^{\uparrow}_{+}(1,3)/SO(3)$. Esse resultado caracteriza o hiperboloide como um espaço homogêneo e evidencia como a teoria das ações permite descrever um objeto geométrico por meio de suas simetrias. Tecnologia e inovação 2026-10-09T00:00:00Z