Densidade e imersões compactas em espaços de Sobolel x regularidade na fronteira

Abstract

A Teoria de Espaços de Sobolev é muito utilizada como ferramenta básica na resolução de problemas de existência, regularidade e unicidade de solução de Equações Diferenciais Parciais da Física-Matemática e mesmo de Equações Integrais. Técnicas de resoluções numéricas, por exemplo de elementos finitos, também usam essa teoria. E bem conhecido na teoria de que certos resultados de imersões e densidade pedem regularidade na fronteira de regiões do em que se está trabalhando. Nosso objetivo neste trabalho é dar resposta a questão acima, isto 6, neste trabalho mostramos explicitamente regiões do Rn = 2) com fronteira irregular (sem a propriedade do cone) de tal modo que não são válidos alguns teoremas de imersão de Sobolev. Assim as regiões mostradas são contra-exemplos para de teoremas de imersão da Teoria de Espaços de Sobolev. Para os teoremas de densidade não se tem um contra-exemplo explicito, mas apenas um resultado parcial que aponta na direção de que deve ser exigida alguma regularidade na fronteira. Também se obtem contra-exemplo para urn Teorema de Trago.