Um estudo sobre funções geradoras

Abstract

O presente trabalho tem por objetivo principal explorar as funções geradoras, que fazem parte das ferramentas da Combinatória e apresentam enorme versatilidade na resolução de problemas e são de grande interesse. A utilidade de uma função geradora surge quando adotamos interpretações combinatórias aos coeficientes e expoentes de sua expansão em série formal. Existem diversas espécies, em uma ou mais variáveis, que obviamente dependem do tipo de solução procurada. Primeiramente, com o objetivo de facilitar a compreensão, faremos um breve estudo sobre equações lineares, coeficientes binomiais e séries formais. Será dada ênfase especial as funções geradoras ordinárias e as funções geradoras exponenciais, bem como algumas aplicações. Veremos alguns exemplos simples que podem ser resolvidos por m´etodos mais difundidos, mas resolveremos por funções geradoras. Assim, poderemos verificar que alémvdo resultado procurado, obteremos outras possibilidades. Na seção de aplicações selecionamos alguns problemas clássicos, onde resolvemos por dois métodos: o primeiro, utilizando as f´ormulas de recorrˆencias, o segundo, utilizando as versáteis funções geradoras. Nossa intenção é proporcionar uma leitura prazerosa e de fácil compreensão. Realizaremos algumas demonstrações e utilizaremos bastante esta poderosa ferramenta em vários exemplos.