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Abstract:
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Não podemos negar, que, em todas as áreas das ciências exatas, uma poderosa ferramenta para a descrição e modelação de muitos fenômenos são as equações diferenciais. Particularmente, na área das ciências físicas, a aplicação das equações diferenciais encontra uma enorme gama de aplicações, desde sua formulação mais simples, que são as equações lineares de primeira ordem, até aplicações em problemas mais complexos envolvendo equações diferencias não-lineares de altas ordens. Procuraremos, neste trabalho, dar uma visão simplificada da aplicação das equações diferenciais, em alguns problemas encontrados na Area das ciências físicas, que possuem soluções bastante conhecidas, indo até uma tentativa mais modesta de se descrever alguns fenômenos naturais encontrados na previsão de enchentes. Em nosso trabalho, resolvemos analiticamente, e numericamente, as equações diferenciais que mostram o desempenho dos fenômenos de sistemas de massa variável. Como exemplos de aplicações das equações diferenciais lineares, que envolvam sistemas de massas variáveis, abordaremos no presente trabalho, alguns problemas simples, onde as equações diferenciais são utilizadas para descrever o comportamento de sistemas com massa variável. Estas equações buscam descrever matematicamente e fisicamente tais problemas, onde, com base nestas equações podemos tentar prever o comportamento de tais sistemas. Em especial as equações diferenciais ordinárias de 1a ordem, que descrevem os fenômenos fisicos, são de grande importância prática na resolução dos problemas em sistemas de massa variável, o que nos oferece uma compreensão quantitativa e qualitativa de tais experimentos. Nem sempre é possível trabalhar com um modelo matemático que represente de maneira exata um problema real em toda sua complexidade. Contudo, pode-se tentar uma formulação aproximada, empregando para tal, algumas variáveis que são essenciais na formulação do fenômeno físico. Desta forma, podemos simular tal fenômeno, com o emprego de um modelo matemático que descreva o seu comportamento. Como exemplo do exposto acima, vamos observar a desintegração de uma substância radioativa. Podemos observar, neste caso, que o número de desintegrações por unidade de tempo é proporcional A. quantidade de substância presente em cada instante. Se postularmos que; x = x(t) representa a quantidade de substância presente em cada instante t, a equação matemática que descreve a taxa de variação instantânea dx(t) dt sofrida pela substância, pode ser descrita como: dx(t) --= a.x.(t) dt onde, a é o coefi ciente de proporcionalidade, entre o valor inicial e a sua variação instantinea. Esta constante deve ser determinada analiticamente, resolvendo a equação acima formulada, ela depende do material envolvido. No capitulo 2, estudamos conceitos, classi ficação e como resolver as equações diferenciais envolvidas. Neste item, as aplicações de tais equações são de fundamental importância para modelagem matemática de problemas de escoamento e lançamento de foguetes. No Capitulo 3, centramos nosso estudo na area da fisica, onde estudamos os conceitos de momento linear, de impulso linear e descrevemos sistemas de massa variável. Estudamos também, neste capitulo, o lançamento de partículas segundo os seguintes aspectos: - sob a ação da força de gravidade, desprezando a resistência do ar; - sob a ação da força da gravidade e considerando a resistência do ar; - desprezando a força de gravidade e a resistência do ar. No capitulo 4, estudamos problemas de escoamento de fluidos que envolvam aplicações fisicas simples das equações diferenciais, em que o volume do liquido no recipiente varia como função da taxa de escoamento do liquido. Como exemplos aplicados, apresentamos a resolução dos problemas para recipiente com diversas formas: cilíndrico, de cone invertido: "funil", e recipiente hemisférico e escoamento em bacias hidrográficas. No capitulo 5, estudamos problemas como o do lançamento de foguetes, no qual utilizamos os conceitos utilizados em problemas com sistemas de massa variável. Nestes estudos, somente analíticos, consideramos o foguete nas seguintes situações: - sob a ação da gravidade; - sob a ação da resistência do ar; - lançamento na horizontal, onde desprezamos a ação da gravidade. No capitulo 6 estudamos, o problema do escoamento das águas em enchentes, baseados em dados coletados durante o período de enchentes em julho de 1983, na bacia hidrográfica do rio Canoas. Isto foi feito utilizando uma modelagem onde incluímos dados coletados. Neste caso, seguimos um roteiro da forma: - Determinamos a ¡sea responsável pelo escoamento, em cada momento, conhecidos o volume e altura em função do tempo. Com o software gráfico Origen40, encontramos uma equação polinomial da area, a(t). A partir da equação diferencial estudada para escoamento no capitulo 4, estudamos a taxa de escoamento instantâneo da area inundada, no período estudado, desprezando qualquer variação no escoamento. Finalmente, com a fórmula de modelagem obtemos as várias fases do comportamento da area inundada. Por último, apresentamos uma pequena conclusão sobre este trabalho |
