Aplicações do teorema do resíduo

Abstract

No estudo de integrais de funções complexas, o nome resíduo foi introduzido em 1826 por A. L. Cauchy, para expressar a diferença das integrais de uma função sobre dois caminhos com as mesmas extremidades delimitando uma região onde a única singularidade é um pólo da função. As integrais sobre caminhos fechados de funções analíticas num conjunto de pontos isolados onde têm pólos, puderam ser calculadas por simples soma de resíduos. Esta possibilidade foi estabelecida por Cauchy em 1826, no então chamado Teorema do Resíduo. Este teorema tem uma vasta gama de aplicações. O seu desenvolvimento inicial confundiu-se com o próprio desenvolvimento de áreas de aplicação, como cartogra a, hidrodinâmica, aerodinâmica, elasticidade, eletrostática, eletromagnetísmo e processos de difusão em química e em biologia. A ligação das variáveis complexas a áreas de outras ciências e da engenharia é tão íntima que o próprio desenvolvimento de várias dessas áreas se confundiu com os métodos da teoria de funções complexas. Por exemplo: no cálculo do movimento dos uídos, da elasticidade em sólidos, dos campos elétricos e eletromagnéticos resultantes de distribuições de cargas e correntes elétricas, da força de sustentação de asas de aviões, de sistema de controle, de análise de sinais. Neste trabalho vamos estudar as funções complexas, integrais curvilíneas e séries de Laurent visando demonstrar o Teorema do Resíduo com objetivo espec í co de aplicá-lo no cálculo de integrais impróprias de funções racionais e integrais impróprias que envolvam funções trigonométricas. O trabalho está dividido em quatro capítulos. No Capítulo 1 apresentamos uma breve introdução às funções complexas com o intuito de preparar o leitor para as aplicações do Teorema do Resíduo. 8 No Capítulo 2 estudamos as integrais de funções complexas para então de nir integrais curvilíneas. Iniciamos o Capítulo 3 com o estudo de séries de potências para só então, demonstrar o Teorema do Resíduo. O Capítulo 4 é destinado as aplicações da teoria dos resíduos.