Uma introdução aos anéis principais e fatoriais

Abstract

A Teoria de Anéis é uma área de importância fundamental em álgebra. A mesma está totalmente conectada com outras grandes áreas como por exemplo, Teoria de Módulos, Teoria de Grupos (Anéis de grupos), Análise Funcional (álgebra de operadores), etc. Nosso objetivo nesse trabalho é estudar alguns anéis especiais, a saber anéis principais e anéis fatoriais, ambos são domínios de integridade (anéis comutativos, com unidade e sem divisores de zero). Nesse estudo, introduzimos os anéis quadráticos que são muito usados para encontrar alguns tipos especiais de exemplos, motivo principal para estudá-los. No que segue, apresentamos uma disposição geral de nosso trabalho. No capítulo 1, são apresentados os pré-requisitos necessários. Estudamos anéis, subanéis e ideais onde apresentamos vários exemplos. No capítulo 2, somos mais específicos pois estudamos divisibilidade num domínio de integridade A, consequentemente definimos máximo divisor comum e outras definições importantes como elementos irredutíveis e primos em A. Apresentamos também vários exemplos usando anéis quadráticos, onde temos uma seção dedicada a eles. Esta pretende mostrar que os mesmos, embora domínios de integridade, mostram-se como anéis onde pode não existir máximo divisor comum entre dois de seus elementos.