Limites para a aplicação da teoria de matrizes randônicas na análise de sistemas dinâmicos: limits of the applicability of random matrix theory to the dynamics of structures with uncertatainties

Abstract

Estruturas aeroespaciais, automotivas, navais ou de outras áreas estão sempre sujeitas às imperfeições e incertezas advindas dos diferentes processos de fabricação. Seja na confecção de uma solda ou no corte de uma placa, diferenças entre a estrutura produzida e aquela projetada sempre existirão. Estas incertezas tornam-se importantes quando existe a possibilidade de comprometimento do desempenho da estrutura. Neste caso, o projeto da estrutura deve levar em consideração as incertezas quanto ao processo de fabricação. Isto se torna difícil quando a performance da estrutura é determinada por seu comportamento vibro-acústico. Uma possibilidade seria modelar a estrutura utilizando métodos numéricos como o Método de Elementos Finitos ou o Método de Elementos de Contorno, juntamente com uma descrição probabilística das propriedades da estrutura. Através do Método de Monte Carlo, um conjunto de estruturas é gerado, a resposta dinâmica de cada membro do conjunto é calculada e dados estatísticos são obtidos. Entretanto, o aumento da faixa de freqüência de interesse requer uma maior discretização do modelo, o que inviabiliza computacionalmente tal abordagem. A Análise Estatística Energética (SEA - Statistical Energy Analysis) é um método vibro-acústico que considera as incertezas das propriedades da estrutura, mas até recentemente era capaz de predizer apenas o comportamento médio. Recentemente, uma nova formulação foi apresentada que permite predizer o comportamento estatístico da resposta vibratória de estruturas aleatórias e estimar a variância dos resultados de SEA. Esta formulação foi derivada com base na Teoria de Processo Estocástico e na hipótese de as freqüências naturais da estrutura seguirem o comportamento estatístico previsto na Teoria de Matrizes Randômicas para uma matriz do tipo GOE (Gaussian Orthogonal Ensemble). Nesta tese de doutorado, uma revisão dos métodos existentes para a determinação das características estatísticas da resposta de estruturas aleatórias é apresentada. A formulação recentemente proposta para o cálculo da variância é revisada e os resultados comparados com dados numéricos e experimentais. As condições para que o modelo estatístico GOE seja válido são discutidas e uma nova abordagem é apresentada para o estudo das características estatísticas de sistemas dinâmicos. Um parâmetro é proposto com o objetivo de verificar a aplicabilidade do modelo GOE. Finalmente, uma análise perturbacional é realizada, permitindo a determinação do novo parâmetro com base nas características estatísticas dos parâmetros da estrutura. Resultados promissores para a aplicação do novo parâmetro são verificados através de análises numéricas.