Metodologias diretas por técnicas de Fourier-Gegenbauer para a resolução numérica de equações diferenciais

Abstract

A solução de equações diferenciais nem sempre pode ser obtida em forma fechada. Em geral, faz-se necessário utilizar aproximações numéricas que tornem o problema solúvel computacionalmente. O método numérico escolhido na resolução do problema deve apresentar rápida convergência, consistência, estabilidade e baixo custo computacional. Dentre os métodos numéricos existentes para a resolução aproximada de equações diferenciais, consideramos os denominados métodos espectrais. Os métodos espectrais utilizam séries truncadas de funções suaves (infinitamente diferenciáveis) para representar a solução. Se o problema envolve dados suaves e condições de contorno periódicas, podemos conseguir uma rápida convergência (espectral) utilizando expansões em séries de Fourier. A convergência espectral é alcançada quando o erro de truncamento entre a série (com um número finito N de termos) e a solução exata, decai a zero mais rapidamente que qualquer potência de 1/N. As expansões espectrais para problemas não-periódicos (em domínios simples e finitos), geralmente utilizam séries em termos de polinômios de Chebyshev ou Legendre. Tais representações apresentam limitações quando precisamos resolver problemas transientes, pois o adensamento de pontos nodais próximo aos contornos implica na necessidade de pequenos passos no tempo para satisfazer a condição CFL.