Uma introdução às séries de Fourier

Abstract

A pesquisa intitulada como “Uma introdução às Séries de Fourier” tem como propósito o estudo de ferramentas necessárias da Análise Real para, posteriormente, aplicá-las na investigação de propriedades das Séries de Fourier. No plano de atividades, eram previstos os estudos relacionados às Séries de Fourier ainda neste projeto, mas foram necessárias alterações por motivos de saúde, que estão melhor detalhadas no relatório final. Os estudos foram iniciados com a teoria de corpos e corpos ordenados, verificando-se que o conjunto dos números racionais possui uma estrutura de corpo ordenado. No entanto, ele ainda carece de uma característica muito importante: alguns conjuntos limitados superior e/ou inferiormente não possuem supremo e/ou ínfimo, respectivamente. Nesse contexto, define-se o conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo, ou seja, todo conjunto limitado superiormente possui supremo. Em seguida, passou-se aos estudos de sequência com foco principal na ideia de limite. Entre os critérios de convergência ou não de uma sequência, destaca-se o de que toda sequência monótona e limitada é convergente. Esse resultado advém fortemente do fato que todo conjunto limitado superiormente possui supremo nos números reais. Além disso, estudou-se um caso particular das sequências: as séries, em que a sua convergência está relacionada ao limite da sequência das reduzidas. Entre os diversos critérios de convergência de série, destacam-se os testes da raiz e da razão, já que abrangem casos mais gerais utilizando o resultado de que toda série absolutamente convergente converge. A próxima etapa foi sobre topologia da reta real, estudando-se as definições de conjuntos abertos, fechados e compactos. Um conjunto é aberto quando todo ponto do conjunto é interior, enquanto um conjunto é fechado quando ele é igual ao seu fecho. Uma relação entre esses dois conceitos é de que um conjunto é fechado se, e somente se, o seu complementar é aberto. Ademais, estudou-se o conceito de compacidade de um conjunto e provou-se que um conjunto é compacto se, e somente se, ele é limitado e fechado. Finalmente, estudou-se o conceito de funções contínuas, provando que as imagens dessas funções, quando definidas em um intervalo, também são intervalos. No mesmo sentido, provou-se que funções contínuas levam compactos em compactos. Por fim, a Análise Real desenvolveu-se ao longo dos séculos e tornou-se uma linguagem fundamental para o avanço de teorias em diversas áreas da Ciência, colaborando para o desenvolvimento de tecnologias e da inovação.