Bases de Gröbner e Monte de Subespaços

Abstract

A Geometria Algébrica estuda as soluções de equações polinomiais, comumente sobre várias variáveis e sobre um corpo (isto é, por exemplo, polinômios com coeficientes reais ou complexos), as quais são conjuntos que podem ser vistos geometricamente como variedades algébricas, essa forma de ver objetos geométricos traz relações entre álgebra e geometria: uma relação clara entre variedades algébricas e estruturas algébricas tais quais anéis e ideais. Neste contexto, surgem as bases de Gröbner - objeto principal de estudo dessa iniciação científica - ferramenta algébrica usada para estudar ideais polinomiais e mais simplesmente resolver sistemas de equações polinomiais, essas bases surgem inspiradas na ideia de dividir polinômios em uma variável, de fato, dado uma ordem monomial fixada, essas bases nos ajudam encontrar representações mais úteis de ideais e, por consequência, variedades. O objetivo deste trabalho é usar essa ferramenta para estudar ideais gerados por polinômios quadráticos homogêneos com coeficientes complexos, em particular as variedades algébricas que são uma união de subespaços vetoriais. Busca-se investigar se é possível encontrar um algoritmo mais simples para o cálculo de ideais radicais neste caso.