Espaços Normados de dimensão finita e infinita

Abstract

Este trabalho tem como objetivo analisar comparativamente algumas características próprias de espaços vetoriais normados, com o intuito de destacar determinados resultados a respeito de completude, fechamento, separabilidade, equivalência de normas, compacidade e operadores lineares contínuos. Para isso, inicialmente foi feita uma revisão bibliográfica do livro Introductory Functional Analysis with Applications, de Erwin Kreyszig (1989) e o tratamento do conteúdo estudado foi feito utilizando o método lógico-dedutivo. A partir da análise realizada acerca dos resultados apresentados no desenvolvimento do trabalho, concluiu-se que todo espaço normado de dimensão finita é completo, separável e possui a propriedade de que duas normas quaisquer são sempre equivalentes. Além disso, subconjuntos compactos de um espaço normado de dimensão finita são exatamente os subconjuntos fechados e limitados. Ainda em relação à dimensão finita, todo subespaço de dimensão finita de um espaço normado qualquer é fechado e, por fim, todo operador linear sobre um espaço de dimensão finita é contínuo. Por outro lado, os espaços normados de dimensão infinita não apresentam a mesma generalidade, uma vez que, para essas propriedades, foram apresentados exemplos que mostram que tais resultados não são válidos em geral.