Operator algebras over the p-adic integers

Abstract

Nessa dissertação, definimos o que é uma álgebra de operadores sobre os inteiros p-ádicos (Zp), que é o análogo p-ádico de uma C * -algebra. Desenvolvemos a teoria desse novo objeto e mostramos diversas semelhanças e diferenças em relação à sua contraparte arquimediana. Demonstramos que a categoria das álgebras de operadores p-ádicos possui todos os limites e colimites, construindo dois produtos tensoriais e dois produtos cruzados. Apresentamos diversos exemplos inspirados na teoria clássica, como álgebras de groupoids, de funções contínuas e de matrizes, além de novos exemplos oriundos do mundo nãoarquimediano, como a álgebra de Tate. Por fim, provamos o teorema de GNS para álgebras sobre um corpo não-arquimediano.

In this dissertation, we define what an operator algebra over the p-adic integers (Zp) is, presenting a p-adic analog of a C * -algebra. We develop the theory of this new object and highlight several similarities and differences compared to its Archimedean counterpart. We prove that the category of p-adic operator algebras possesses all limits and colimits, constructing two tensor products and two crossed products. We present several examples inspired by classical theory, such as groupoid algebras, continuous function algebras, and matrix algebras, as well as new examples arising from the non-Archimedean context, including the Tate algebra. Finally, we prove the GNS theorem for algebras over a non-Archimedean field.