A categoria de módulos parciais de uma álgebra de grupo finito

Abstract

Neste trabalho apresentamos a estrutura monoidal da categoria de representações parciais de um grupo finito G, que corresponde à categoria de módulos sobre a álgebra kpar(G), denotada como kpar(G)M. Mostramos que esta categoria tem uma estrutura monoidal, pois a álgebra kpar(G) tem estrutura de Hopf algebroide. Além disso, utilizamos o isomorfismo entre a álgebra kpar(G) e a álgebra do grupóide G(G), denotada por kG(G), para descrever para descrever de maneira explícita os objetos simples nesta categoria. Como resultados relevantes, mostramos o Teorema da Árvore de Natal, que diz que, dados um grupo finito G e um subgrupo H = G, existe um funtor aditivo, monoidal, fiel e injetivo nos objetos entre a categoria dos módulos sobre kH e a categoria dos módulos sobre kpar(G). Também mostramos o Teorema da Matryoshka, que diz que, dado um grupo abeliano finito G e um subgrupo H = G existe um funtor aditivo, monoidal, fiel e injetivo nos objetos entre a categoria dos módulos sobre kpar(H) e a categoria dos módulos sobre kpar(G).

Abstract: In this work we study the monoidal structure of the category of partial representations of a finite group G, that it is the same category of modules over the algebra kpar(G), denoted by kpar(G)M. We show that this category has a monoidal structure, because the algebra kpar(G) has a structure of Hopf algebroid. We use the isomorphism between the algebra kpar(G) and the groupoid algebra of G(G), denoted by kG(G), to describe explicitelly the simple objects in this category. Our most relevant results are the ?Christmas tree?, than, for every finite group G and each subgroup H of G, there exists an additive, monoidal, faithful and injective-on-objects functor between the category of modules over kH and the category of modules over kpar(G). And finally, the ?Matryoshka?s Theorem?, than, for every finite abelian group G and each subgroup H of G, there exists an additive, monoidal, faithful and injective-on-objects functor between the category of modules over kpar(H) and the category of modules over kpar(G).