Resolução de problemas espectrais em buracos negros de Schwarzschild, Kerr e Kerr-Papapetrou-Wald a partir das propriedades analíticas da equação confluente de Heun

Abstract

O presente trabalho de pesquisa tem o intuito de descrever e investigar o comportamento de campos quânticos no espaço-tempo de Schwarzschild, Kerr e no buraco negro magnetizado de Kerr-Papapetrou-Wald usando alguns elementos da Teoria Quântica de Campos em Espaço-tempo Curvo. Para esse propósito, utilizamos a equação mestre de Regge-Wheeler-Zerilli para campos de spin s = 0,1 e 2 em torno do buraco negro de Schwarzschild e a equação mestre de Teukolsky para a análise de campos de spin s = 0, ± 1/2, ±1 e ±2 sob condições de contorno específicas. Além disso, apresentamos a dedução das equações de Klein-Gordon-Fock no espaço-tempo de Kerr para um campo massivo e carregado em acoplamento mínimo com o campo eletromagnético de Papapetrou-Wald, qual seja, uma solução das equações de Maxwell livre de fontes nesse espaço que representa o campo eletromagnético no exterior de um buraco negro de Kerr imerso em um campo magnético assintóticamente uniforme e alinhado com o seu eixo de rotação. Nesse caso, as equações diferenciais parciais de Euler-Lagrange para o campo escalar não são separáveis para a métrica de Kerr em coordenadas de Boyer-Lindquist r e ? para todo r ? (r+,+8) e ? ? [0, 2p]. Deste modo, fizemos uma restrição na variável angular do tipo ? << 1 para investigar a região axial em ângulos muito pequenos. Nesse regime, as equações de movimento se separam na variável radial e angular e, assim, podemos estudar a dinâmica do campo escalar concentrado em um pequeno cone truncado ? ? (0,?L), com ?L << 1, uma região onde a aceleração de partículas carregadas pelo campo de Papapetrou-Wald é mais intensa e pode ser fonte de raios-cósmicos ultrarelativísticos. Como veremos, todas as equações de campo referentes a direção radial supracitadas podem ser mapeadas na equação confluente de Heun e, assim, podemos utilizar as propriedades analíticas conhecidas dessa equação até o momento para calcular a taxa de criação de radiação Hawking com greybody factor e assim obter a intensidade de radiação emitida como função dos parâmetros de cada modelo e de cada modo de frequência dos campos. Em especial, lançamos mão de novos resultados analíticos sobre uma das soluções assintóticas da equação confluente de Heun em torno do infinito para determinar o espectro de cada partícula a partir da imposição de condições polinomiais sobre a relação de recorrência de três-termos que define os coeficientes dessa solução. Dessa forma, encontramos que os modos de frequência dos campos sob essas condições devem ser números complexos com parte imaginária negativa, ou seja, possuem um termo de atenuamento conforme a variável temporal t --> + .

Abstract: The present research work aims to describe and investigate the behavior of quantum fields in the Schwarzschild, Kerr space-time and in the magnetized Kerr-PapapetrouWald black hole using some elements of Quantum Field Theory in Curved Space-time. For this purpose, we use the Regge-Wheeler-Zerilli master equation for spin fields s = 0,1 and 2 around the Schwarzschild black hole and the Teukolsky master equation for the analysis of spin fields s = 0,±1/2, ±1 and ±2 under specific boundary conditions. Furthermore, we present the derivation of the Klein-Gordon-Fock equations in Kerr spacetime for a massive and charged field in minimal coupling with the PapapetrouWald electromagnetic field, that is, a source-free solution of the Maxwell equations in this space that represents the electromagnetic field outside a Kerr black hole immersed in an asymptotically uniform magnetic field which is aligned with its axis of rotation. In this case, the Euler-Lagrange partial differential equations for the scalar field are not separable for the Kerr metric in Boyer-Lindquist coordinates r and ? for all r ? (r+, + 8) and ? ? [0, 2p]. Therefore, we made a restriction on the angular variable of the type ? << 1 to investigate the axial region at very small angles. In this regime, the equations of motion separate into the radial and angular variables and, thus, we can study the dynamics of the scalar field concentrated in a small truncated cone ? ? (0,?L), with ?L << 1, a region where the acceleration of charged particles by the Papapetrou-Wald field is more intense and can be a source of ultrarelativistic cosmic rays. As we will see, all the field equations referring to the radial direction mentioned above can be mapped onto Heun?s confluent equation and, thus, we can use the analytical properties known for this equation to date to calculate the rate of creation of Hawking radiation with greybody factor in order to obtain the intensity of emitted radiation as a function of the parameters of each model and each field frequency mode. In particular, we make use of new analytical results on one of the asymptotic solutions of the confluent Heun equation around infinity to determine the spectrum of each particle by imposing polynomial conditions on the three-term recurrence relation that defines the coefficients of this solution. Thus, we find that the frequency modes of the fields under these conditions must be complex numbers with a negative imaginary part, that is, they have an attenuation term as the temporal variable t --> + .