Some extremal problems in Hilbert spaces of entire functions

Abstract

O presente trabalho apresenta alguns problemas extremais em Análise de Fourier. Inicialmente, são discutidos alguns conceitos fundamentais da teoria de funções inteiras, tais como o princípio de Phragmén-Lindelöf, funções da classe de Pólya e funções de tipo limitado. Utilizando esses conceitos, os espaços de de Branges são definidos e suas propriedades, como espaços de Hilbert com núcleo reprodutor, são exploradas. Em seguida, são enunciados alguns problemas extremais relacionados à imersão de espaços de Paley-Wiener e a variações de problemas extremais clássicos com restrições de monotonicidade. Por meio da poderosa teoria dos espaços de de Branges, é possível encontrar as constantes ótimas para tais problemas.

Abstract: The present work addresses extremal problems in Fourier Analysis. Initially, fundamental concepts of the theory of entire functions are discussed, such as the Phragmén-Lindelöf principle, functions from the class of Pólya, and functions of bounded type. Utilizing these concepts, de Branges spaces are defined, and their properties, such as being Hilbert spaces with reproducing kernels, are explored. Subsequently, extremal problems related to embedding Paley-Wiener spaces and variations of classical extremal problems with monotonicity constraints are stated. Through the powerful theory of de Branges spaces, it is possible to determine the sharp constants for such problems.