Um normal estudo sobre a teoria de Galois

Abstract

Este trabalho tem como principal objeto o desenvolvimento dos principais tópicos e aplicações da Teoria de Galois, geralmente presentes em um curso introdutório sobre o tema. Essa teoria consiste no estudo de corpos e suas extensões, a partir de um grupo associado a essa extensão, chamado de ‘grupo de Galois’. O grupo de Galois de uma extensão permite criar uma ponte entre a Teoria de Corpos e a Teoria de Grupos, pode-se, então, derivar propriedades sobre os corpos a serem investigados, olhando apenas para seu grupo de Galois, e vice-versa. Não é, porém, qualquer extensão que tem acesso à essa poderosa ferramenta, as extensões que possuem uma relação útil com algum grupo precisam satisfazer duas condições: separabilidade e normalidade, e o estudo dessas condições é feito por meio dos morfismos entre extensões de corpos e os anéis de polinômios gerados por cada corpo. Uma vez que essas propriedades são bem estabelecidas, é possível utilizar as ferramentas desenvolvidas para diversas aplicações. Nesse trabalho, foi dada atenção à duas em específico: construções geométricas com régua e compasso, e a resolução de equações polinomiais.

The main goal of this final paper is to develolp the key topics and applications of Galois Theory, which would be generally covered in an introductory course in the subject. This theory consists in the study of fields and their extensions, by making the use of groups that correspond with said extensions, called “Galois groups”. The Galois group of an extension creates a bridge between the subjects of Field Theory and Group Theory, which enables the use of group properties to gather information about the corresponding field extension, and vice-versa. However, not all field extensions have access to this powerful tool, for there to be a useful relationship between an extension and a Galois group, the field extension must, first, satisfy two conditions: normality and sepparability, and the study of these two properties is done in terms of morphisms between field extensions and the properties of the polynomials rings made up by each field. Once these properties are well-established, its possible to use the theory that was develolped in many different applications. In this final paper, the attention was focused on two particular applications: geometric constructions with ruler and compass, and the solvability of polynomial equations in terms of radicals.