Controle sob restrições por realimentação de saída de sistemas lineares via invariância poliédrica e otimização bilinear

Abstract

Problemas de controle usualmente contém restrições físicas e de segurança nas variáveis de estado e de controle, além dos sinais externos de referência e perturbação serem, em geral, limitados em amplitude. Neste trabalho, consideram-se as propriedades de invariância positiva e ?-invariância de conjuntos poliédricos para garantir que estas restrições sejam respeitadas e assegurar a estabilidade local do sistema em malha fechada. Tal escolha se justifica pelo fato dos conjuntos poliédricos disporem do formato mais adaptado aos limites em amplitude encontrados na prática. Além disto, a abordagem considerada permite tratar a) leis de controle por realimentação de saída, estática ou dinâmica; b) é capaz de levar em conta restrições não simétricas; e c) lidar com compensadores dinâmicos de ordem reduzidas. Ao longo dos problemas tratados nesta dissertação, considera-se a síntese conjunta de um controlador e de um conjunto poliédrico invariante associado, a qual pode ser realizada utilizando-se o solver de otimização não linear KNITRO para encontrar a solução dos problemas de programação bilinear propostos. Inicialmente, a propriedade de ?-invariância de conjuntos convexos, usada especificamente na presença de perturbações externas persistentes, é aplicada para projetar leis de controle por realimentação dinâmica de saída em tempo discreto e calcular, conjuntamente, um conjunto poliédrico ?-invariante com um conjunto ultimamente limitado associado. Na sequência, projetos de leis de controle por realimentação de saída, estática e dinâmica, são propostos em tempo contínuo e discreto, com o objetivo de garantir a estabilidade assintótica local e o respeito das restrições para toda condição inicial pertencente a um conjunto pré-especificado. Por último, aborda-se o rastreamento do degrau de referência para sistemas monovariáveis sujeitos a restrições, por meio da lei de controle Proporcional-Integral com um termo feed-forward. Determinam-se limites de amplitude para o degrau de referência, de modo que o Princípio do Modelo Interno permaneça válido na região poliédrica, baseado nas propriedades de invariância positiva e ?-invariância. Em cada um destes casos, diferentes funções objetivos são consideradas para a síntese de soluções via programação bilinear. Ademais, exemplos numéricos são apresentados a fim de mostrar a eficácia e o potencial das propostas.

Abstract: Control problems often contain physical and safety constraints on the state and control variables and external and disturbance signals that are generally limited in amplitude. Because the format of polyhedral sets is adaptable based on the amplitude limits found in practice, we consider the positive invariance and ?-invariance properties of polyhedral sets to guarantee that the constraints are respected and ensure the closed-loop system's local stability. Furthermore, the considered approach can a) address control laws using output feedback, static or dynamic, b) handle non-symmetrical constraints, and c) deal with reduced-order dynamic compensators. The problems presented in this work consider the joint synthesis of a controller and an associated invariant polyhedral set. The nonlinear optimization solver KNITRO is used to solve the proposed bilinear programming problems. Initially, the property of ?-invariance convex set, used in the presence of persistent external perturbations, is applied to design control laws by discrete-time dynamic output feedback and to calculate a ?-invariant polyhedral set with an ultimately bounded set associated. Next, designs for static and dynamic output feedback control laws are presented in continuous and discrete-time to guarantee local asymptotic stability and respect constraints for all initial conditions belonging to a pre-specified set. Finally, it addresses the tracking of the reference step for monovariable systems subject to constraints through the Proportional-Integral control law with a feed-forward term. Amplitude limits are determined for the reference step, based on the positive invariance and ?-invariance properties, to maintain the Internal Model Principle valid in the polyhedral region. In each case, distinct objective functions are considered for solution synthesis via bilinear programming. Furthermore, numerical examples are presented to show the effectiveness and potential of the proposals.