Propriedades assintóticas para equações dissipativas de segunda ordem com laplacianos fracionários em R

Abstract

Neste trabalho estudamos existência e unicidade de soluções para uma equação semilinear generalizada de evolução de segunda ordem com operadores de Laplace com potências fracionárias. Além disso, estudamos taxas de decaimento da soluçao e da energia associada na norma L2. Para a equação linear associada, usando uma expansão assintótica da solução do problema no espaço de Fourier mostramos otimalidade nas taxas obtidas . Também estudamos o caso de ?super damping? onde refinando o método para os casos padrão provamos otimalidade da taxa na norma L2. Nossos resultados generalizam trabalhos anteriores que lidam com casos particulares das potências fracionárias.

Abstract: In this work we study existence and uniqueness of solutions for a generalized second order semilinear evolution equation with Laplace operators with fractional powers. We also study decay rates of the solution and associated energy in the sense of L2 norm. For the associated linear equation, using an asymptotic expansion of the solution of the problem in the Fourier space we show optimality of the decay rates obtained for certain powers of the Laplacian operator. We also study the case of strong damping using an improvement of the method for the standard cases and we prove optimality of the decay rate for the L2 norm. Our results generalize some previous works that deal with particular cases of the fractional powers.