Existência de solução para um problema de controle associado ao sistema de Ginzburg-Landau e um método numérico para modelos correlatos

Abstract

As equações de Ginzburg-Landau modelam o comportamento de amostras de certos tipos de materiais durante suas mudanças de fase do estado normal para o estado supercondutor, mediante um parâmetro complexo cuja norma ao quadrado representa a densidade de elétrons na fase supercondutora. Diversas são as possíveis aplicações do estudo da supercondutividade, principalmente na presença de um campo magnético externo, influenciando a mudança de fase. Tendo em vista o vasto interesse científico nesta equação, um problema de controle ótimo pode ser associado a mesma, onde desejamos aproximar a distribuição de densidade de elétrons supercondutores a uma densidade pré-estabelecida. Faz-se necessário encontrar uma demonstração formal para existência de uma solução para tal problema. A demonstração de existência proposta neste trabalho baseia-se no teorema de Rellich-Kondrachov, na desigualdade de Friedrichs e na utilização do Gauge de London. No que se refere ao contexto numérico, o método das linhas generalizado pode ser utilizado como alternativa bastante eficiente para encontrar uma solução aproximada para problemas elípticos semelhantes às equações de Ginzburg-Landau, aproximando o estudo teórico do problema com aplicações práticas de interesse científico tecnológico.

Abstract: The Ginzburg-Landau equations model the behavior of some types of material samples during their phase transition from a normal state to a superconducting one, through a complex parameter whose absolute value square represents the density of electrons in the superconducting phase. There are several possible applications of superconductivity, especially in the presence of an external magnetic field, affecting the phase transition process. Given the vast scientific interest in these equations, it is possible to associate them with an optimal control problem, through which we intend to approximate the superconducting eletron density of the sample to a known given density distribuition. It is necessary for such a problem to develop the formal details relating the proof of existence of a concerning solution. Such a proof of existence proposed in this work is based on the Rellich-Kondrachov theorem, on the Friedrichs inequality and on the so-called gauge of London. About the numerical context, the generalized method of lines may also be used as a very efficient tool to find an approximate solution to elliptical problems similar to the Ginzburg-Landau equations, connecting their theoretical study and practical applications of scientific and technological interest .