Álgebras de Hopf associadas a grafos tipo árvore

Abstract

O presente trabalho tem como objetivo explorar algumas álgebras de Hopf construídas a partir de grafos do tipo árvore (com raiz). Estudam-se as álgebras de Connes-Kreimer e a de Grossman-Larson, e busca-se uma relação entre essas duas álgebras de Hopf. A relação encontrada é a dualidade separante. Também explora-se uma versão para árvores ordenadas das álgebras de Connes-Kreimer e de Grossman-Larson. Prova-se a dualidade dessas duas álgebras seguindo a ideia do caso anterior, mas não se consegue obter que a dualidade é separante. Um contraexemplo para isso é mostrado. Os capítulos iniciais apresentam a teoria básica de álgebras de Hopf e de Lie necessária para a leitura deste trabalho. Alguns resultados sobre biálgebras conexas com filtração e com graduação são vistos no capítulo 4, incluindo a demonstração do teorema de Milnor-Moore. O capítulo 5 apresenta as árvores (não-ordenadas e ordenadas) e as álgebras de Connes-Kreimer e de Grossman-Larson obtidas a partir das mesmas. Termina-se apresentando o teorema de Panaite e a dualidade entre essas duas álgebras de Hopf.<br>

Abstract : The present work explores some Hopf algebras built over rooted trees. The Hopf algebras of Connes-Kreimer and Grossman-Larson are studied, and a relationship between these algebras is investigated. The relationship between these algebras turns out to be a separating duality. A version of the Connes-Kreimer and Grossman-Larson algebras using ordered rooted trees is also investigated. A duality between these algebras is obtained, in the same way as the non-ordered case. However, it is not a separating duality, and a counterexample is shown.The first three chapters present the basic theory of Hopf algebras and Lie algebras required for the remainder of the work. Some results concerning gradded and filtered connected bialgebras are shown in chapter 4, including the proof of the Milnor-Moore theorem. The chapter 5 presents (non-ordered and ordered) rooted trees and the Connes-Kreimer and Grossman-Larson algebras built over them. A duality between these two algebras is, then, shown, by means of Panaite's theorem.