Esquemas numéricos para a reconstrução do gradiente em malhas poligonais

Abstract

Uma estratégia especial para a discretização de reservatórios de petróleo encontrada na literatura tem por princípio manter o uso das tradicionais malhas corner-point nas regiões afastadas dos poços e empregar malhas cilíndricas ao redor destes. A necessária conexão entre estes dois tipos de malhas é sugerida ser feita através de malhas de transição, cuja característica principal é apresentar volumes de controle genéricos com um número arbitrário de faces. Dando ênfase a este tipo de malhas, também denominadas na literatura por malhas poligonais, o presente trabalho tem como foco o estudo, a implementação e a análise de métodos de reconstrução explícita do gradiente nelas empregados. Os métodos de reconstrução têm como tarefa fundamental determinar os vetores gradiente associados a todos os volumes de controle de uma malha poligonal através de valores discretos de pressão, associados aos centroides desses volumes. Tais métodos podem ser divididos em dois grandes grupos: um deles se utiliza da fórmula de Green-Gauss, derivada do teorema da divergência, e o outro emprega os princípios do método dos mínimos quadrados. Testes em diferentes tipos de malhas poligonais e considerando diferentes funções, cada uma representando um campo de pressão ao longo do domínio, são realizados com o intuito de determinar quais métodos de reconstrução apresentam os melhores resultados numéricos e tempos computacionais razoáveis para serem executados. Os resultados numéricos são analisados de acordo com o índice de convergência do gradiente de pressão e também de acordo com a magnitude da norma do erro deste gradiente. A determinação daqueles métodos que melhor desempenham a sua função e apresentam uma boa relação custo/benefício é importante para os esquemas numéricos que se utilizam do resultado do gradiente para aproximar os fluxos através das faces dos volumes de controle poligonais. Um esquema numérico que emprega o princípio anterior é também apresentado neste trabalho. Dois casos são testados com o intuito de avaliar a metodologia numérica proposta.<br>

Abstract : A special strategy for petroleum reservoir discretization found in the literature is based on the principle of maintain the use of the traditional cornerpoint grids in the regions away from the wells and employ cylindrical grids around them. The connection between these two types of grids is suggested to be made using transitional grids whose main characteristic is to be formed by control volumes with an arbitrary number of faces. This kind of grids is mostly known in the literature as polygonal grids. This work focuses on the study, the implementation, and the analysis of explicit gradient reconstruction methods employed with those grids. The purpose of these methods is to approximate the gradient vectors associated with all the control volumes of a polygonal grid using discrete values of pressure, localizated at control volume centroids. The methods belong to two main groups: one of them uses the Green-Gauss formula, derived from the divergence theorem, and the other one employs the least squares method. Tests on different types of polygonal grids and considering different functions, each one representing a pressure field in the domain, are performed in order to determine the gradient reconstruction methods that give more accurate numerical results in reasonable computational times. The numerical results are analyzed according to the convergence order of the pressure gradient and also according to the magnitude of the gradient error norm. The determination of the methods that show a good cost/benefit ratio is important for numerical schemes that need gradients for approximating the mass-flowthrough the control volumes interfaces. A numerical scheme applying gradient reconstruction methods to a singlephase flow model is also presented in this work. Two cases are tested in order to evaluate the numerical methodology proposed.