https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/103512 2026-10-17T06:50:10Z https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/276675 Redes neurais combinadas a um método de amostragem para o problema da tomografia por impedância elétrica Riffel, Felipe Kaminsky No problema da Tomografia por Impedância Elétrica (EIT), queremos reconstruir uma imagem do interior de um corpo com base em sua condutividade elétrica, conhecendo correntes elétricas aplicadas e potenciais elétricos medidos sobre a sua superfície. Em vez de recuperar o valor de condutividade em cada ponto, métodos de amostragem trazem outra abordagem: classificar se cada ponto está no background, meio homogêneo de condutividade conhecida, ou numa inclusão, objetos de materiais e condutividades distintas. Neste trabalho, exploramos os métodos Deep-DSM, que combinam redes neurais ao chamado Método de Amostragem Direta (DSM). Originalmente, no DSM, resolvemos uma equação diferencial auxiliar e informamos a função obtida em uma fórmula direta, indicando a propensão de cada ponto estar em um dos conjuntos. Porém, tal fórmula apresenta algumas desvantagens. Sabendo que é possível fazer a classificação com essas funções auxiliares, mas que a fórmula conhecida tem suas adversidades, a ideia é usá-las como entradas de redes neurais para fazer essa classificação, conhecendo o potencial desses modelos de aprendizagem nesses problemas. Propõem-se duas arquiteturas de redes neurais distintas: uma profunda residual, usada para classificar pontualmente, e uma convolucional, gerando uma imagem com vários pontos classificados de uma vez. Sugerimos também uma adaptação heurística do Deep-DSM para o Modelo Completo de Eletrodos, que refina as condições de fronteira na EIT. Além dos estudos teóricos, fazemos uma série de experimentos numéricos para verificar a eficácia dos métodos. Os resultados reforçam o bom desempenho já conhecido dos métodos Deep-DSM, avaliados também em situações distintas das analisadas no artigo original, e mostram que a adaptação proposta para o modelo alternativo da EIT é promissora.; Abstract: In the Electrical Impedance Tomography (EIT) problem, we aim to reconstruct an image of the interior of a body based on its electrical conductivity, given applied electrical currents and measured electrical potentials on its surface. Instead of recovering the conductivity value at each point, sampling methods provide an alternative approach: classifying whether each point belongs to the background ? a homogeneous medium with known conductivity ? or to an inclusion, which represents objects made of materials with distinct conductivities. In this work, we explore the Deep-DSM methods, which combine neural networks with the so-called Direct Sampling Method (DSM). In the original DSM, we solve an auxiliary differential equation and use the resulting function in a direct formula that indicates the likelihood of each point belonging to one of the sets. However, this formula presents certain drawbacks. Since it is possible to perform the classification using these auxiliary functions, but the known formula has limitations, the idea is to use them as inputs to neural networks to carry out the classification, leveraging the potential of learning-based models in such problems. Two different neural network architectures are proposed: a deep residual network used for pointwise classification, and a convolutional network that generates an image by classifying multiple points simultaneously. We also suggest a heuristic adaptation of Deep-DSM for the Complete Electrode Model, which refines the boundary conditions in EIT. In addition to the theoretical developments, we perform a series of numerical experiments to evaluate the effectiveness of the methods. The results reinforce the previously known strong performance of the Deep-DSM methods ? also tested here in scenarios different from those considered in the original paper ? and show that the proposed adaptation for the alternative EIT model is promising. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2026. 2026-01-01T00:00:00Z https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/275173 Sobre resultados de existência para equações diferenciais parciais parabólicas com aplicações em supercondutividade Araújo, Maycon Sullivan Santos Nesta tese, desenvolvemos resultados de existência para uma classe de equações diferen- ciais parciais parabólicas aplicável a um modelo com duas fases em supercondutividade. Para atingir esse fim estudamos propriedades relacionadas a campos vetoriais definidos em abertos limitados específicos de R3 (Capítulo 3); estudamos propriedades relacionadas a funções fraca- mente mensuráveis com valores em espaço de Hilbert separável (Apêndice A) e estudamos uma teoria mais geral para Multiplicadores de Lagrange (Apêndice B). No Capítulo 4, apresentamos o problema de existência de solução proposto e a forma como o resolvemos. Combinamos os estudos mencionados acima junto com a ideia de obter a solução por meio de limite fraco de uma sequência de funções interpolantes dentro de um espaço semelhante a um espaço de Sobolev.; Abstract: In this thesis, we develop existence results for a class of parabolic partial differential equa- tions applicable to a two-phase model in superconductivity. To achieve this goal, we investigate properties related to vector fields defined on specific bounded open subsets of R3 (Chapter 3); we study properties related to weakly measurable functions with values in a separable Hilbert space (Appendix A); and we develop a more general theory for Lagrange Multipliers (Appen- dix B). In Chapter 4, we present the proposed existence problem and the method used to solve it. We combine the studies mentioned above with the idea of obtaining the solution through the weak limit of a sequence of interpolating functions within a space analogous to a Sobolev space. Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2026. 2026-01-01T00:00:00Z https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/273208 Robustness results for nonuniform exponential dichotomies Goularti, Renan Rabelo Nesta dissertação, investigamos dicotomias exponenciais não uniformes em processos de evolução discretos e contínuos em espaços de Banach. No caso discreto, demonstramos que a existência e unicidade de soluções limitadas para equações não homogêneas em espaços de sequências ponderadas, juntamente com o decaimento exponencial das soluções homogêneas para frente e para trás, implicam a admissibilidade de uma dicotomia exponencial não uniforme. Demonstramos também que, sob a condição de que o expoente da dicotomia seja estritamente maior que o expoente de não uniformidade, a família de projeções instáveis é única, depende continuamente do processo e a dicotomia é robusta sob pequenas perturbações lineares. Estendemos esses resultados ao cenário contínuo através da técnica de discretização, possibilitando a transposição direta das propriedades discretas. Por fim, analisamos um outro tipo de dicotomia exponencial não uniforme, mostrando que os dois tipos são complementares e se aplicam em diferentes exemplos. Também estabelecendo um resultado de robustez desta nova dicotomia para processos de evolução invertíveis em espaços reflexivos.; Abstract: In this dissertation, we investigated nonuniform exponential dichotomies in discrete and continuous evolution processes in Banach spaces. In the discrete setting, we demonstrated that the existence and uniqueness of bounded solutions to nonhomogeneous equations in weighted sequence spaces, combined with the exponential decay of forward and backward homogeneous solutions, imply the admissibility of a nonuniform exponential dichotomy. We further showed that, under the condition that the dichotomy exponent is strictly greater than the nonuniformity exponent, the family of unstable projections is unique, depends continuously on the process, and the dichotomy is robust under small linear perturbations. We extended these results to the continuous setting via the discretization technique, allowing for the direct transposition of the discrete properties. Finally, we analyze another type of non-uniform exponential dichotomy, showing that the two types are complementary and apply to different examples. We also establish a robustness result for this new dichotomy for invertible evolution processes in reflexive spaces. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2026. 2026-01-01T00:00:00Z https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/273201 Sistemas dinâmicos diferenciáveis: hiperbolicidade e teoria ergódica Basotti, Ana Gabriela Neste trabalho exploramos o conceito de hiperbolicidade em sistemas dinâmicos diferenciáveis, isto é, quando o espaço de fases é uma variedade diferenciável e a regra de evolução é dada por um difeomorfismo agindo na variedade. Estudamos propriedades fundamentais desses sistemas, como a existência de variedades estáveis e instáveis e a persistência da hiperbolicidade sob pertubações. Além disso, trabalhamos a noção de ergodicidade no caso do difeomorfismo ser hiperbólico em toda variedade e conservativo. Por fim, discutimos generalizações da noção de hiperbolicidade, como a decomposição dominada e a hiperbolicidade parcial, apresentando a conjectura de Pugh?Shub sobre ergodicidade em sistemas parcialmente hiperbólicos.; Abstract: In this work we explore the concept of hyperbolicity in differentiable dynamical systems, that is, when the phase space is a differentiable manifold and the evolution rule is given by a diffeomorphism acting on the manifold. We study some fundamental properties of these systems, such as the existence os stable and unstable manifolds and the persistence os hyperbolicity under pertubations. Moreover, we go through the notion of ergodicity in the case of the diffeomorphism being hyperbolic on the whole manifold and conservative. Finally, we discuss generalizations of the notion of hyperbolicity, such as dominated splitting and partial hyperbolicity, presenting the Pugh?Shub conjecture on ergodicity in partially hyperbolic systems. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2026. 2026-01-01T00:00:00Z