https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/224973 2026-05-17T19:46:31Z 2026-05-17T19:46:31Z Júnior Campos, José Eduardo dos Santos https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/239385 2022-09-15T11:56:54Z 2022-09-14T00:00:00Z

Teoria espectral e diagonalização de matrizes normais Júnior Campos, José Eduardo dos Santos As C∗-álgebras desempenham um papel importante nas ciências, em matemática por exemplo, nos permite “traduzir” certos objetos matemáticos em C∗-álgebras, podendo assim fazer inferências acerca desse objeto utilizando teoremas sobre C∗- álgebras associado ao objeto. Outras aplicações de suma importância é na Física, as C∗-álgebras são úteis na formulação da mecânica estatística e também na caracterização da mecânica quântica. Assim, para estudarmos as C∗-álgebras, é necessário construir alguns conhecimentos prévios, em especial, a análise funcional e a teoria espectral. É nesse sentido que essa pesquisa segue, o objetivo básico é dar os ingredientes teóricos essenciais para começar um debru- çamento acerca das C∗-álgebras, desse modo a concentração desse estudo estará na teoria espectral e no entendimento de alguns resultados que estão relacionados com as C∗-álgebras. A grosso modo, a teoria espectral consiste de estudar o espectro de operadores lineares, que no caso de espaços vetoriais de dimensão finita são o conjunto de autovalores de um dado operador, sendo este estudo fundamental para descrição de operadores lineares normais. Os operadores lineares normais é uma classe de operadores que é comutante quando composto com o seu adjunto, e essa condição permite deduzir resultados muitos úteis para descrição, como a existência de bases ortonormais para um espaço consistindo de autovetores de um operador normal que está sobre esse espaço. Além do que associar e relacionar operadores com matrizes é interessante para darmos uma interpretação matricial para os resultados obtidos com o estudo dos operadores lineares normais. outro resultado importante desse estudo é teorema espectral para operadores normais, O teorema espectral é uma versão algébrica do teorema da diagonalização de matrizes normais e da existência de bases de autovetores de operadores normais, permitindo fazer uma descrição de um operador normal através do seu espectro. Em outras palavras, este resultado permite determinar um operador normal por meio dos seus autovalores e as suas projeções espectrais, ou seja, as projeções ortogonais sobre os autoespaços associados. bem como, este resultado pode ser observado como uma manifestação do teorema de representação de Gelfand para c∗-álgebras comutativas, sobre o qual descreve estas álgebras também através de seu espectro. Um breve vídeo enunciando e comentando alguns resultados obtido no projeto de iniciação científica ciclo 2021/2022

2022-09-14T00:00:00Z Silva, Tainá da https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/227620 2021-08-30T14:16:54Z 2021-08-30T00:00:00Z

Métodos iterativos para solução de sistemas lineares: aceleração usando reflexões circuncentradas e GPU Silva, Tainá da Este projeto teve como objetivo principal realizar um estudo da teoria de métodos iterativos que se utilizam de projeções ortogonais para solução de sistemas lineares esparsos. Os métodos estudados foram o método de projeções sequenciais de Kaczmarz (KACZ) e os métodos de projeções simultâneas de Cimmino (CIM) e método de média de componentes (CAV). Para compreender estes métodos, foi realizado um estudo de algumas ferramentas de cunho matemático, tais como: espaços vetoriais, operadores, sequências, entre outros, bem como de ferramentas usuais da área de métodos computacionais de otimização, tais como: análise numérica e otimização convexa: convergência de algoritmos, condições para convergência, entre outros. Implementamos computacionalmente os métodos iterativos de KACZ, CIM e CAV em CPU. Na sequência, foi realizado um estudo de técnicas de implementação em paralelo, utilizando GPUs, por fim, implementamos os métodos paralelizáveis de CIM e CAV, recorrendo à linguagem de programação Julia e sua biblioteca CUDA.jl específica para trabalhar com GPUs do tipo CUDA e placas NVIDIA. Por fim, realizamos testes computacionais aplicando os algoritmos de CIM e CAV em sete matrizes esparsas de grande porte da coleção de problemas SuiteSparse Matrix Collection e comparamos a velocidade de tais algoritmos na GPU e na CPU. Após tais experiências, averiguou-se que os algoritmos tiveram um tempo consideravelmente superior de iteração em GPU.

2021-08-30T00:00:00Z Philippi, Guilherme https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/227386 2021-08-24T20:08:10Z 2021-01-01T00:00:00Z

Teoria e prática em Distance Geometry e Clifford Algebras com aplicações Philippi, Guilherme A modelagem clássica do Problema de Geometria de Distâncias Moleculares Discretizável envolve uma série de rotações e translações que são representadas através de matrizes no espaço homogêneo. Este trabalho faz um estudo sobre os benefícios computacionais de utilizar a álgebra de quatérnios para representar estas transformações lineares no lugar das matrizes. Partindo dos conceitos básicos de álgebra abstrata, introduz-se a álgebra de quatérnios e a Geometria de Distâncias. Por fim, algumas simulações computacionais dão sentido prático ao estudo.

2021-01-01T00:00:00Z Zanoni, João Victor https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/225992 2021-08-20T10:20:08Z 2021-08-19T00:00:00Z

Introdução à Teoria das Catástrofes Zanoni, João Victor Neste trabalho é estudado uma introdução à Teoria das Catástrofes para explorar modelos matemáticos, determinados pelas singularidades das famílias de funções, para compreender as mudanças abruptas de um sistema. Dentre os sete modelos de catástrofe criados por René Thom, são estudados a Dobra e a Cúspide, devido a sua alta aplicabilidade no cotidiano. Nesta direção, esses modelos são utilizados para explicar a minimização de um sistema de energia, a flutuabilidade de um barco e a queda brusca na bolsa de valores. Além disso, uma máquina de catástrofe de Zeeman é elaborada com o intuito de simular o comportamento catastrófico do sistema. Seminário de Iniciação Científica e Tecnológica. Universidade Federal de Santa Catarina. Centro Tecnológico, de Ciências Exatas e Educação - CTE. Departamento de Matemática.

2021-08-19T00:00:00Z