UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE F´ ISICA Bruno Pavani Bertolino ˜ DO MODELO DE THOMAS-FERMI APLICAC ¸ AO ` ´ ´ ˆ ESTENDIDO A MATERIA DE PROTONS, NEUTRONS E ´ ELETRONS (NPE) Florian´ opolis 2012 Bruno Pavani Bertolino ˜ DO MODELO DE THOMAS-FERMI APLICAC ¸ AO ` ´ ´ ˆ ESTENDIDO A MATERIA DE PROTONS, NEUTRONS E ´ ELETRONS (NPE) Disserta¸ ca ˜o submetida a ` P´ os-Gradua¸ ca ˜o em F´ ısica para a obten¸ ca ˜o do Grau de Mestre em F´ ısica. Orientador: Prof. Dr. Sidney dos Santos Avancini Florian´ opolis 2012 Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da Universidade Federal de Santa Catarina B546a Bertolino, Bruno Pavani Aplicação do modelo de Thomas-Fermi estendido à matéria de prótons, nêutrons e elétrons (npe) [dissertação] / Bruno Pavani Bertolino ; orientador, Sidney dos Santos Avancini. – Florianópolis, SC, 2012. 84 p.: grafs., tabs. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-Graduação em Física. Inclui referências 1. Física. 2. Walecka, Modelo de. 3. Estrelas de nêutrons. . I. Avancini, Sidney dos Santos. II. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Física. III. Título. CDU 53 APLICAÇÃO DO MODELO DE THOMAS-FERMI ESTENDIDO À MATÉRIA DE PRÓTONS, NÊUTRONS E ELÉTRONS (NPE) Bruno Pavani Bertolino Esta Dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de MESTRE EM FÍSICA, na área de concentração de Física Nuclear e de Hádrons e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-Graduação em Física. ___________________________________ Prof. Dr. Sidney dos Santos Avancini (UFSC - Orientador) ___________________________________ Prof. Dr. Luis Guilherme de Carvalho Rego (FSC/UFSC - Coordenador do Programa) ____________________________________ Prof. Dr. Sidney dos Santos Avancini (UFSC - Presidente) ___________________________________ Prof. Dr. Manuel Maximo Bastos Malheiro de Oliveira (ITA) ____________________________________ Prof. Dr. José Ricardo Marinelli (FSC/UFSC) __________________________________ Prof. Dr. Celso de Camargo Barros Junior (FSC/UFSC) __________________________________ Prof. Dr. Celso de Camargo Barros Junior FSC/UFSC ___________________________________ Nome do Professor FSC/UFSC Aos meus pais, Jos´ e Roberto e Silvia. AGRADECIMENTOS Ao orientador, Prof. Dr. Sidney dos Santos Avancini, pela orienta¸ c˜ ao, dedica¸ c˜ ao e compreens˜ ao. ` Universidade Federal de Santa Catarina, atrav´ A es do Departamento de F´ ısica, que me possibilitou a oportunidade de realizar este trabalho. Ao Programa de P´ os-Gradua¸ c˜ ao em F´ ısica e aos professores do Departamento de F´ ısica. ` CAPES pela concess˜ A ao da bolsa de Mestrado. A todos os que de alguma forma contribu´ ıram para a realiza¸ c˜ ao deste trabalho. RESUMO Calculamos neste trabalho propriedades das fases ex´ oticas da mat´ eria npe conhecidas como “pasta”, que s˜ ao encontradas na crosta das estrelas de nˆ eutrons, partindo do modelo de Walecka n˜ ao-linear com a parametriza¸ c˜ ao NL3. Desenvolvemos um algoritmo para realizar o c´ alculo num´ erico incluindo termos de segunda ordem nas expans˜ oes das densidades e da energia, isto ´ e, utilizando a aproxima¸ c˜ ao de ThomasFermi estendida. Limitamo-nos ao estudo das fases com geometrias tridimensionais a temperatura zero, e obtivemos para esses casos a configura¸ c˜ ao preferencial (estado fundamental) para diferentes densidades, assim como a regi˜ ao de transi¸ c˜ ao entre a pasta e a fase homogˆ enea, mostrando uma dependˆ encia desta com a fra¸ c˜ ao de pr´ otons. Palavras-chave: Modelo de Walecka n˜ ao-linear. Aproxima¸ c˜ ao de Thomas-Fermi estendida. Fase pasta. ABSTRACT In this work, we have calculated properties of exotic phases of npe matter known as “pasta”, which are found on the crust of neutron stars, starting from the non-linear Walecka model with the NL3 parametrization. We have developed an algorithm to perform the numerical calculation including second-order terms in the expansions of the densities and energy, that is, using the extended Thomas-Fermi approximation. We have limited ourselves to the study of phases with three-dimensional geometry at zero temperature, and have obtained for those cases the preferential (ground-state) configuration for different densities, as well as the transition region between the pasta and the homogeneous phase, showing its dependence with the proton fraction. Keywords: Non-linear Walecka model. Extended Thomas-Fermi approximation. Pasta phase. ´ SUMARIO ˜ 1 INTRODUC ¸ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 MODELO σ - ω DE WALECKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ´ ˜ 2.1 CALCULO DAS EQUAC ¸ OES DE MOVIMENTO . . . . . . . . . 23 ˜ ´ 2.2 APROXIMAC ¸ OES DE CAMPO MEDIO E THOMAS-FERMI 28 ˜ DE WIGNER-KIRKWOOD . . . . . . . . . . . 33 3 EXPANSAO ˜ DE WEYL-WIGNER DA MECANICA ˆ ˆ 3.1 FORMULAC ¸ AO QUANTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 PROPRIEDADES DO OPERADOR DELTA . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 TRANSFORMADA DE WEYL DO PRODUTO DE DOIS ´ OPERADORES ARBITRARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ´ 4 METODO DE THOMAS-FERMI ESTENDIDO RELATIV´ ISTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ´ 4.1 CALCULO DA MATRIZ DENSIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ˜ 4.2 EXPRESSOES WIGNER-KIRKWOOD DA DENSIDADE E ENERGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ˜ NA FASE PASTA FRIA EM ESTRE5 APLICAC ¸ AO ˆ LAS DE NEUTRONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ´ 5.1 CALCULO DOS POTENCIAIS QU´ IMICOS . . . . . . . . . . . . . . 63 ˜ DAS EQUAC ˜ 5.2 SOLUC ¸ AO ¸ OES DE KLEIN-GORDON . . . . . . 66 ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6 RESULTADOS E DISCUSSAO 6.1 PERFIS DE DENSIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.2 ENERGIA POR PART´ ICULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7 CONCLUSAO ˆ REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 15 ˜ 1 INTRODUC ¸ AO Nesta disserta¸ c˜ ao, pretendemos aplicar aproxima¸ c˜ oes semicl´ assicas a um modelo de campo m´ edio relativ´ ıstico (SEROT et al., 1986. (Advances in nuclear physics, v.16)), com a inten¸ c˜ ao de calcular observ´ aveis de sistemas tais como n´ ucleos atˆ omicos e mat´ eria estelar. Como parte inicial, estudamos algumas t´ ecnicas existentes na literatura para lidar com o problema de muitos corpos, evitando o trabalho de resolver as equa¸ c˜ oes de campo m´ edio de Hartree-Fock (HF) e calcular as fun¸ c˜ oes de onda de uma part´ ıcula. Normalmente, m´ etodos semicl´ assicos consistem em realizar a expans˜ ao de Wigner-Kirkwood (WK) da matriz densidade em ordens sucessivas de . H´ a uma variedade de m´ etodos, no entanto, para realizar esta expans˜ ao, tais como o m´ etodo alg´ ebrico de Grammaticos e Voros (GRAMMATICOS; VOROS, 1979) e a expans˜ ao variacional Wigner-Kirkwood (VWK) (CENTELLES et al., 1998; CENTELLES; ˜ SCHUCK; VINAS , 2007), para o caso n˜ ao relativ´ ıstico, e as t´ ecnicas de funcional da densidade como o m´ etodo de Thomas-Fermi (TF) e Thomas-Fermi estendido (TFE) (CENTELLES et al., 1990, 1993) ou a teoria relativ´ ıstica variacional Wigner-Kirkwood (RVWK) (DEL ESTAL; ˜ CENTELLES; VINAS , 1997), para o caso relativ´ ıstico. Estamos interessados especialmente na utiliza¸ c˜ ao de modelos relativ´ ısticos, e neste caso aparecem complica¸ c˜ oes nos c´ alculos advindas da n˜ ao comutatividade das matrizes que entram na hamiltoniana, o que torna imposs´ ıvel a utiliza¸ c˜ ao das mesmas t´ ecnicas para o c´ alculo das matrizes densidade n˜ ao relativ´ ıstica e relativ´ ıstica. Particularmente, neste caso, ´ e necess´ ario realizar a soma de s´ eries de potˆ encias separadamente para as solu¸ c˜ oes de energia positiva e negativa, onde as t´ ecnicas n˜ ao relativ´ ısticas misturariam as duas (CENTELLES et al., 1993). As t´ ecnicas de funcional da densidade consistem basicamente em obter a expans˜ ao WK da densidade ρ, a partir do c´ alculo da matriz densidade, e invertˆ e-la de maneira a obter a densidade de energia e a densidade de energia cin´ etica como funcionais da densidade e de seus gradientes (CENTELLES et al., 1990, 1993, 1992) e ent˜ ao minimizar a energia total para obter um conjunto de equa¸ c˜ oes a ser resolvido de maneira auto-consistente. Na t´ ecnica RVWK, a densidade de n´ umero e densidade de energia, assim como o potencial qu´ ımico e os campos, s˜ ao expandidos em ordens de e a minimiza¸ c˜ ao ´ e feita para os termos de cada ordem de maneira independente. Um resultado importante ´ e que as corre¸ c˜ oes a uma certa ordem de para as densidades requerem 16 o conhecimento dos campos apenas at´ e a ordem anterior (DEL ESTAL; ˜ CENTELLES; VINAS , 1997). Nosso principal intuito neste trabalho ´ e utilizar uma aproxima¸ c˜ ao TFE para calcular as propriedades da fase pasta em estrelas de nˆ eutrons a temperatura zero. Para tal vamos utilizar a t´ ecnica de funcional da densidade descrita em (CENTELLES, 1992), no entanto exprimindo as corre¸ c˜ oes de segunda ordem em fun¸ c˜ ao dos momentos de Fermi e da massa efetiva, que por sua vez s˜ ao dependentes dos campos mesˆ onicos e eletromagn´ etico. Algumas das vantagens do m´ etodo TFE sobre o m´ etodo TF, mais simples, ´ e que este u ´ltimo n˜ ao trata bem efeitos de camada e termos de superf´ ıcie, enquanto que com a aproxima¸ c˜ ao TFE levamos em conta em m´ edia os efeitos de camada, e melhoramos o tratamento dos termos de superf´ ıcie. (RING; SCHUCK, 1980) O estudo das estrelas compactas, assim como o das colis˜ oes de ´ ıons pesados, representa uma boa oportunidade para os f´ ısicos nucleares e de part´ ıculas compreenderem a mat´ eria em situa¸ c˜ oes extremas. (MARUYAMA et al., 2006) Os detalhes envolvidos nas explos˜ oes de supernova e no comportamento e composi¸ c˜ ao das estrelas de nˆ eutrons tˆ em sido objeto de estudo extensivo nas u ´ltimas d´ ecadas, e acredita-se que as estrelas de nˆ eutrons sejam o resultado de explos˜ oes de supernova tipo II, Ib e Ic. Nestas explos˜ oes, o n´ ucleo estelar ´ e comprimido at´ e uma densidade muitas vezes maior que a densidade nuclear de satura¸ c˜ ao, e assim se mant´ em devido ` a presen¸ ca da gravidade, enquanto que o restante da estrela ´ e expelido. (AVANCINI et al., 2008) A mat´ eria nuclear no estado fundamental apresenta diversas caracter´ ısticas conhecidas como propriedades de satura¸ c˜ ao, como a densidade de satura¸ c˜ ao, ρ0 ≈ 0.16 f m−3 e a energia de liga¸ c˜ ao, B.E./A ≈ -16 MeV. Essas propriedades, assim como a incompressibilidade nuclear e outras, s˜ ao importantes para ajustar os parˆ ametros dos modelos usados para descrever a mat´ eria nuclear. Estamos interessados particularmente em parametriza¸ c˜ oes do modelo relativ´ ıstico n˜ ao-linear de Walecka. Modelos relativ´ ısticos, ao serem aplicados em altas densidades e assimetrias de isospin, como nas estrelas compactas, ou em altas temperaturas, especialmente nas colis˜ oes de ´ ıons pesados, mas tamb´ em em certas aplica¸ c˜ oes em mat´ eria estelar, providenciam informa¸ c˜ oes adicionais ` aquelas obtidas com modelos n˜ ao-relativ´ ısticos, como, por exemplo, uma explica¸ c˜ ao natural da for¸ ca spin-´ orbita. Tamb´ em pode-se esperar que seja poss´ ıvel estabelecer uma conex˜ ao entre esses modelos e descri¸ c˜ oes mais fundamentais das intera¸ c˜ oes nucleares em teoria de campos, e que eles sirvam de base para uma descri¸ c˜ ao da mat´ eria nuclear mais quente e densa, para a qual a relatividade torna-se 17 mais importante (GREINER; MARUHN, 1996). A incidˆ encia de diferentes densidades na mat´ eria restante das explos˜ oes de supernovas pode implicar na forma¸ c˜ ao de estados ex´ oticos da mat´ eria nuclear. Em densidades t´ ıpicas, pr´ oximas ` a densidade de satura¸ c˜ ao, as escalas dominadas pelas intera¸ c˜ oes nuclear forte e eletromagn´ etica est˜ ao bastante separadas, e por isso a mat´ eria se organiza na forma de n´ ucleos atˆ omicos. Em densidades de cerca de 0.01 a 0.1 f m−3 , por´ em, as escalas de comprimento est˜ ao mais pr´ oximas, e ocorre uma competi¸ c˜ ao entre os dois tipos de intera¸ c˜ ao. Em densidades muito baixas, a mat´ eria nuclear se arranja formando uma rede em um mar de el´ etrons, de modo a minimizar a energia coulombiana. Com o aumento da densidade, estruturas intermedi´ arias come¸ cam a aparecer, como uma fase mista em uma transi¸ c˜ ao de fase l´ ıquido-g´ as de primeira ordem. Essas configura¸ c˜ oes intermedi´ arias enfim desaparecem em uma densidade abaixo da densidade de satura¸ c˜ ao, dando origem a uma fase homogˆ enea. A densidade em que ocorre a transi¸ c˜ ao para a fase homogˆ enea depende da constitui¸ c˜ ao da mat´ eria (sua fra¸ c˜ ao de pr´ otons), do modelo e parametriza¸ c˜ ao utilizados e da temperatura. Identificando a equa¸ c˜ ao de estado da mat´ eria nuclear, pode-se determinar onde esta cruza as curvas espinodais (AVANCINI et al., 2008) caracter´ ısticas da transi¸ c˜ ao de fase, e portanto em que temperaturas h´ a o aparecimento da fase mista. As estruturas complexas que surgem nesse tipo de sistema intermedi´ ario s˜ ao chamadas de “pasta” nuclear, e ocorrem no est´ agio final do colapso das supernovas e nas crostas das estrelas de nˆ eutrons, que acredita-se serem formadas por mat´ eria rica em nˆ eutrons em equil´ ıbrio β . Como h´ a part´ ıculas carregadas no sistema, ocorre um equil´ ıbrio entre a tens˜ ao superficial e a intera¸ c˜ ao coulombiana, e as estruturas que surgem nessa transi¸ c˜ ao de fase tˆ em tamanho e forma definidos, formando redes de “peda¸ cos” de uma fase embutidas na outra fase, diferentemente da transi¸ c˜ ao de fase l´ ıquido-vapor da ´ agua, por exemplo, em que as fases tˆ em uma geometria arbitr´ aria, quando a tens˜ ao superficial ´ e pequena, ou est˜ ao completamente separadas, quando ela ´ e grande. Os peda¸ cos das fases que aparecem na pasta podem ser modelados por estruturas com simetria esf´ erica em trˆ es dimens˜ oes, em rela¸ c˜ ao a rota¸ c˜ oes ao redor do eixo z em duas dimens˜ oes, ou em rela¸ c˜ ao ao eixo perpendicular ` as camadas em uma dimens˜ ao. A essas estruturas s˜ ao normalmente dados os nomes de droplet (gota) e bubble (bolha) em trˆ es dimens˜ oes, rod (bast˜ ao) e tube (tubo) em duas dimens˜ oes, e slab (placa) em uma dimens˜ ao, e todas s˜ ao tipicamente definidas dentro de 18 uma c´ elula de Wigner-Seitz. (AVANCINI et al., 2008; MARUYAMA et al., 2006) As estruturas denominadas gota e bast˜ ao caracterizam-se por terem densidades maiores do que as das suas imedia¸ c˜ oes na c´ elula, assim como aquelas chamadas de bolha e tubo tˆ em densidades menores. O nome pasta vem da identifica¸ c˜ ao figurativa das estruturas tipo bast˜ ao e placa com espaguete e lasanha, respectivamente. O estudo da fase pasta em estrelas de nˆ eutrons ´ e de consider´ avel interesse para prever certas propriedades das regi˜ oes exteriores dessas estrelas, tais como a condutividade t´ ermica, que ´ e importante para determinar a velocidade com que a estrela se resfria, a viscosidade, propriedades mecˆ anicas e o livre caminho m´ edio de neutrinos na mat´ eria estelar. As estruturas tridimensionais (gota e bolha), apresentam especial interesse devido ao fato de essas configura¸ c˜ oes estarem nos limites entre a mat´ eria homogˆ enea e n˜ ao-homogˆ enea, extremos de densidades onde h´ a maior conex˜ ao com dados experimentais. Neste estudo, realizamos c´ alculos para essas duas geometrias. Em densidades maiores, estuda-se a possiblidade de haver outras transi¸ c˜ oes de fase. Em uma densidade v´ arias vezes maior que a densidade de satura¸ c˜ ao, acredita-se que ocorra uma transi¸ c˜ ao de fase de primeira ordem para um estado condensado de m´ esons K − . Este condensado kaˆ onico deve ocorrer em estrelas de nˆ eutrons, em regi˜ oes onde a densidade ´ e muito grande, com uma larga faixa de densidades em que aparece a fase mista, ocorrendo tamb´ em estruturas com geometria definida chamadas de pasta kaˆ onica. Al´ em dessa transi¸ c˜ ao de fase, em densidades ou temperaturas muito grandes, considera-se o desconfinamento dos quarks, que daria origem a uma fase mista de h´ adrons e quarks desconfinados. Entende-se esta u ´ltima como um plasma de quarks e gl´ uons, e procura-se compreender as propriedades da mat´ eria quark utilizando-se m´ etodos de primeiros princ´ ıpios baseados na cromodinˆ amica quˆ antica (QCD), tais como QCD na rede. Pouco se conhece sobre essa transi¸ c˜ ao de fase, mas ´ e sugerido que ela seja tamb´ em uma transi¸ c˜ ao de primeira ordem, dando origem, portanto, a uma fase mista como nos casos anteriores. Em sequˆ encia, fazemos uma breve descri¸ c˜ ao dos assuntos tratados em cada cap´ ıtulo deste texto. No segundo cap´ ıtulo, descrevemos brevemente o modelo nuclear utilizado no trabalho, isto ´ e, o modelo σ ω de Walecka (SEROT et al., 1986. (Advances in nuclear physics, v.16)). A aplica¸ c˜ ao deste modelo ´ e fundamental para obtermos as equa¸ c˜ oes de movimento e a hamiltoniana do nosso sistema, a mat´ eria npe (composta por nˆ eutrons, pr´ otons e el´ etrons). O modelo de Walecka ´ e uma descri¸ c˜ ao bem sucedida e bastante utilizada das intera¸ c˜ oes nucleares, e serve 19 como ponto de partida para o c´ alculo TFE. Diversas parametriza¸ c˜ oes existem para este modelo, dentre as quais escolhemos uma das mais usuais, chamada parametriza¸ c˜ ao NL3. Apresentamos aqui tamb´ em as aproxima¸ c˜ oes de campo m´ edio e de Thomas-Fermi. No terceiro cap´ ıtulo, mudamos o foco para a expans˜ ao semicl´ assica de Wigner-Kirkwood, uma t´ ecnica desenvolvida para calcular as matrizes densidade, e baseada na formula¸ c˜ ao de Weyl-Wigner da mecˆ anica quˆ antica no espa¸ co de fase (DE GROOT; SUTTORP, 1972; BRACK; BHADURI, 2003; MARCHIOLLI, 2002). Esta t´ ecnica permite que o propagador relacionado ` a hamiltoniana seja expandido em ordens de de maneira consistente, gerando equa¸ c˜ oes recursivas para a determina¸ c˜ ao de cada ordem para o propagador, do qual a matriz densidade relativ´ ıstica ´ e obtida a partir de uma transformada de Laplace inversa (RING; SCHUCK, 1980). Visto que a formula¸ c˜ ao de Weyl-Wigner n˜ ao ´ e t˜ ao amplamente conhecida, reservamos este cap´ ıtulo para explicar seus fundamentos de maneira um pouco mais detalhada. O quarto cap´ ıtulo trata da aproxima¸ c˜ ao TFE, iniciando pela delinea¸ c˜ ao do c´ alculo das matrizes densidade, prosseguindo com o desenvolvimento dos c´ alculos da densidade, densidade de energia e densidade escalar em ordem zero (aproxima¸ c˜ ao de Thomas-Fermi) como ilustra¸ c˜ ao da t´ ecnica de expans˜ ao WK, demonstrando a obten¸ c˜ ao correta das express˜ oes TF encontradas na literatura, e finalizando com a apresenta¸ c˜ ao das express˜ oes finais das corre¸ c˜ oes de segunda ordem (aproxima¸ c˜ ao de Thomas-Fermi estendida) em fun¸ c˜ ao das derivadas do potencial e da massa efetiva. O quinto cap´ ıtulo foca na quest˜ ao da fase pasta na mat´ eria npe e, por extens˜ ao, no caso das estrelas de nˆ eutrons, embora n˜ ao tenhamos inclu´ ıdo o equil´ ıbrio beta. Ele tamb´ em trata de suas caracter´ ısticas geom´ etricas, assim como no funcionamento b´ asico do algoritmo desenvolvido para realizar a simula¸ c˜ ao num´ erica. Apresentamos os v´ ınculos que devem ser respeitados na realiza¸ c˜ ao do c´ alculo: a condi¸ c˜ ao de um n´ umero constante de b´ arions e a neutralidade de carga, calculados no interior de uma c´ elula de Wigner-Seitz. Explicamos tamb´ em como as equa¸ c˜ oes de Klein-Gordon referentes aos campos podem ser resolvidas mediante uma expans˜ ao em uma base de estados do oscilador harmˆ onico. O sexto cap´ ıtulo ´ e reservado para a exposi¸ c˜ ao dos resultados obtidos com o algoritmo e sua discuss˜ ao, incluindo os gr´ aficos dos perfis de densidade das c´ elulas para as duas geometrias estudadas (gota e bolha) e fra¸ co ˜es de pr´ otons diferentes em uma dada densidade global, e a energia total do sistema nas duas geometrias para uma gama de 20 densidades, o que permite a determina¸ c˜ ao da geometria predominante dentre as duas em cada faixa de densidade. Tamb´ em discutimos a regi˜ ao de densidades maiores em que a fase pasta heterogˆ enea deixa de ser o estado fundamental em favor de uma configura¸ c˜ ao homogˆ enea. Finalmente, na conclus˜ ao do trabalho discutimos poss´ ıveis refinamentos e adi¸ c˜ oes ao algoritmo para a obten¸ c˜ ao de uma extens˜ ao maior de dados, assim como projetos relacionados. 21 2 MODELO σ - ω DE WALECKA O problema da descri¸ c˜ ao microsc´ opica de um sistema nuclear como um n´ ucleo finito ´ e atacado tipicamente por um m´ etodo puramente quˆ antico e n˜ ao relativ´ ıstico, resolvendo uma equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger para muitos corpos que interagem atrav´ es de potenciais nucleares. Neste caminho, uma das aproxima¸ co ˜es mais razo´ aveis ´ e a aproxima¸ c˜ ao de Hartree-Fock (HF), que consiste em substituir a fun¸ c˜ ao de onda de muitos corpos por um determinante de Slater de fun¸ c˜ oes de onda de part´ ıcula u ´nica, obtendo-se um conjunto de equa¸ c˜ oes de onda de part´ ıcula u ´nica em que os n´ ucleons se movem em um potencial de Hartree-Fock. Walecka e colaboradores desenvolveram um outro caminho para o estudo do problema de muitos corpos, uma teoria de campos quˆ anticos relativ´ ısticos chamada de hadrodinˆ amica quˆ antica (HDQ) (SEROT et al., 1986. (Advances in nuclear physics, v.16)). Sabe-se hoje que a intera¸ c˜ ao nuclear que gera os potenciais nucleon-nucleon adv´ em da dinˆ amica subjacente de quarks e gl´ uons, que pode ser descrita de maneira efetiva por uma teoria de m´ esons no regime de energias mais baixas. O formalismo da hadrodinˆ amica quˆ antica trata da intera¸ c˜ ao nuclear como sendo originada da troca de m´ esons virtuais, e os efeitos relativ´ ısticos s˜ ao incorporados naturalmente ` a teoria. Na forma mais simples da HDQ, consideram-se dois campos mesˆ onicos: um campo isoescalar-escalar atrativo associado ao m´ eson σ e um campo isoescalar-vetorial repulsivo associado ao m´ eson ω , que origina o comportamento da intera¸ c˜ ao em curtas distˆ ancias. Desta maneira, ficamos com o chamado modelo σ -ω . A introdu¸ c˜ ao desses dois m´ esons ´ e motivada pela observa¸ c˜ ao de componentes escalares e quadrivetoriais na intera¸ c˜ ao nuclear. Os efeitos das trocas de m´ esons π s˜ ao nulos em m´ edia ao descrevermos as propriedades da mat´ eria nuclear, devido ` a dependˆ encia da intera¸ c˜ ao com o spin, e por isso a colabora¸ c˜ ao do m´ eson π ´ e desprezada nesta descri¸ c˜ ao mais simples. A densidade Lagrangeana para este modelo σ -ω ´ e a seguinte: ¯[γµ (i∂ µ − gv V µ ) − m∗ ]ψ + 1 (∂µ φ∂ µ φ − m2 ) = ψ s 2 1 1 − Ωµν Ωµν + m2 Vµ V µ + δ L 4 2 v L1 (2.1) onde 22 Ωµν = ∂µ Vν − ∂ν Vµ m∗ = M − gs φ (2.2) (2.3) ´ importante perceber, entretanto, que no modelo σ -ω de WaE lecka linear, o valor da incompressibilidade da mat´ eria nuclear ´ e consideravelmente superestimado. O valor obtido com esta teoria mais simples ´ e de κ = 545 MeV, muito acima dos valores obtidos empiricamente, o que nos mostra a necessidade de corre¸ c˜ oes ` a teoria. A id´ eia de Boguta e Bodmer (BOGUTA; BODMER, 1977) de acrescentar termos proporcionais ao campo escalar ao cubo e ` a quarta potˆ encia ` a densidade Lagrangiana ´ e o m´ etodo mais utilizado para deslocar o valor da incompressibilidade para regi˜ oes aceit´ aveis. A densidade Lagrangeana proposta para esta finalidade tem a seguinte forma: 1 1 LBB = L1 − κφ3 − λφ4 (2.4) 3 12 Al´ em dessas corre¸ c˜ oes, para darmos uma boa descri¸ c˜ ao de um n´ ucleo finito, ´ e essencial que levemos em conta a assimetria entre pr´ otons e nˆ eutrons. A contribui¸ c˜ ao dessa assimetria ` a densidade Lagrangiana se d´ a na forma da adi¸ c˜ ao de um campo isovetorial-vetorial correspondente ao m´ eson ρ. Tamb´ em devem ser adicionados para essa descri¸ c˜ ao termos referentes ` a intera¸ c˜ ao eletromagn´ etica, que ´ e improtante no caso de n´ ucleos finitos e tamb´ em em estrelas de nˆ eutrons. Dessa maneira, consideraremos para nossos prop´ ositos uma extens˜ ao ao modelo de Walecka original chamado modelo σ -ω n˜ ao-linear, que reproduz de maneira satisfat´ oria os dados da mat´ eria nuclear na ausˆ encia do campo coulombiano. A densidade Lagrangeana completa ´ e a seguinte: L= i=p,n Li + Le + Lσ + Lω + Lρ + Lγ (2.5) Explicitando os termos: Li = ψ i [γµ iDµ − M ∗ ] ψi Le = ψ e [γµ (i∂ µ + eAµ ) − me ] ψe (2.6) (2.7) 23 Lσ = 1 2 1 3 1 2 ∂µ φ∂ µ φ − m2 λφ4 s φ − κφ − 3 12 1 2 1 µ − Ωµν Ωµν + m2 v Vµ V 2 1 µ − Bµν · B µν + m2 ρ bµ · b 2 1 Lγ = − Fµν F µν 4 (2.8) (2.9) (2.10) (2.11) Lω = Lρ = 1 2 Onde iDµ = i∂ µ − gv V µ − 1 + τ3 µ gρ τ · bµ − e A 2 2 (2.12) (2.13) (2.14) Bµν = ∂µ bν − ∂ν bµ − gρ (bµ × bν ) Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ Os operadores ψi e os seus adjuntos ψ i representam os campos dos nucleons, φ ´ e um campo isoescalar-escalar com massa ms associado ao m´ eson σ , V µ ´ e um campo isoescalar-vetorial com massa mv e um campo isovetorial-vetorial com massa associado ao m´ eson ω , e bµ ´ mρ associado ao m´ eson ρ, de onde se origina a contribui¸ c˜ ao do isospin (AVANCINI et al., 2008). Os campos dos m´ esons e dos n´ ucleons est˜ ao acoplados, e as constantes de acoplamento s˜ ao gs , gv e gρ , enquanto que 4π . o campo eletromagn´ etico tem a constante de acoplamento e = 137 M e me correspondem ` as massas dos nucleons e dos el´ etrons, respectivamente. O vetor τ ´ e o operador de isospin, e τ3 ´ e definido da seguinte forma: τ3 (p) τ3 (n) = = 1 −1 (2.15) ´ ˜ 2.1 CALCULO DAS EQUAC ¸ OES DE MOVIMENTO A partir da densidade Lagrangeana, podemos calcular as equa¸ c˜ oes de movimento para os campos ξ do modelo, atrav´ es das equa¸ c˜ oes 24 de Euler-Lagrange: ∂µ Para ξ = ψ i , temos: ∂L =0 ∂ ∂µ ψ i ∂L = [γµ iDµ − m∗ ] ψi ∂ψ i ∂µ ∂L ∂L − = [γµ iDµ − m∗ ] ψi = 0 ∂ ∂µ ψ i ∂ψ i (2.17) (2.18) (2.19) ∂L ∂L − =0 ∂ (∂µ ξ ) ∂ξ (2.16) Para ξ = ψ e : ∂L =0 ∂ ∂µ ψ e ∂L = [γµ (i∂ µ + eAµ ) − me ] ψe ∂ψ e ∂µ ∂L ∂L − = [γµ (i∂ µ + eAµ ) − me ] ψe = 0 ∂ ∂µ ψ e ∂ψ e (2.20) (2.21) (2.22) Que ´ e a equa¸ c˜ ao de Dirac. Para ξ = φ: ∂L ∂ = ∂ (∂µ φ) ∂ (∂µ φ) 1 ∂µ φ∂ µ φ 2 = ∂µφ (2.23) (2.24) ∂L κ 2 λ 3 = −m2 s φ − φ − φ + gs ψi ψi ∂φ 2 6 ∂µ ∂L ∂L κ 2 λ 3 − = ∂µ ∂ µ φ + m2 s φ + φ + φ − gs ψi ψi = 0 (2.25) ∂ (∂µ φ) ∂φ 2 6 Para ξ = Vµ : 25 ∂L ∂ (∂µ Vµ ) ∂ 1 − Ωµ ν Ωµ ν ∂ (∂µ Vµ ) 4 ∂ 1 [(∂µ Vν − ∂ν Vµ ) = − 4 ∂ (∂µ Vµ ) = × ∂µ V ν − ∂ν V µ ] 1 = − [(δµµ δµν − δµν δµµ ) Ωµ ν 4 +Ωµ ν (δµµ δµν − δµν δµµ )] = −Ωµµ ∂L µ µ = m2 v V − gv ψi γ ψi ∂Vµ (2.26) (2.27) ∂µ ∂L ∂L µ µ − = −∂µ Ωµµ − m2 v V + gv ψi γ ψi = 0 ∂ (∂µ Vµ ) ∂Vµ (2.28) Onde ∂µ Ωµµ = ∂µ ∂ µ V µ − ∂ µ ∂µ V µ = ∂µ ∂ µ V µ (2.29) Podemos ver que o segundo termo na express˜ ao acima se anula tomando ∂µ da equa¸ c˜ ao (2.28): µ µ 2 µ −∂µ ∂µ Ωµµ − m2 v ∂µ V + gv ∂µ ψi γ ψi = −mv ∂µ V = 0 (2.30) Onde o primeiro termo se anula por se tratar de um tensor sim´ etrico operando em um tensor anti-sim´ etrico, e o terceiro termo se anula devido ` a equa¸ c˜ ao da continuidade para a corrente j µ = ψi γ µ ψi , que deve ser conservada. Finalmente, obtemos: ∂L ∂L µ µ − = −∂µ ∂ µ V µ − m2 v V + gv ψi γ ψi = 0 ∂ (∂µ Vµ ) ∂Vµ Para ξ = bµ : ∂µ (2.31) 26 ∂L ∂ ∂ µ bµ = ∂ ∂ ∂µ bµ ∂L ∂ bµ 1 − Bµ ν B µ ν 4 gρ ψi γ µ τ ψ i 2 = −B µµ (2.32) µ = m2 ρb − (2.33) ∂µ ∂L ∂ ∂µ bµ − ∂L ∂ bµ = = = µ µ −∂µ B µµ − m2 ρ b + gρ ψi γ ψi µ µ −∂µ ∂ µ bµ − m2 ρ b + gρ ψi γ ψi 0 (2.34) Para ξ = Aµ : ∂L ∂ = ∂ (∂µ Aµ ) ∂ (∂µ Aµ ) 1 − Fµ ν F µ ν 4 = −F µµ (2.35) ∂L (1 − τ3 ) ψi + eψe γ µ ψe = −eψi γ µ ∂Aµ 2 ∂L ∂L − ∂ (∂µ Aµ ) ∂Aµ = −∂µ F µµ + eψi γ µ −eψe γ µ ψe = −∂µ ∂ µ Aµ + eψi γ µ −eψe γ µ ψe = 0 (1 − τ3 ) ψi 2 (1 − τ3 ) ψi 2 (2.36) ∂µ (2.37) A partir da densidade Lagrangeana, podemos obter tamb´ em o tensor densidade de energia-momento, de acordo com a equa¸ c˜ ao: T µν = −g µν L + ξ ∂L ν ∂ ξ ∂∂µ ξ (2.38) J´ a calculamos os termos do somat´ orio, de maneira que o tensor tem a forma: 27 T µν = −g µν {ψi γµ iDµ − m∗ ψi +ψ e γ µ + i∂ µ + eAµ − me ψe + 1 1 1 2 ∂µ φ∂ µ φ − m2 − kφ3 − λφ4 sφ 2 3! 4! 1 1 2 1 µν µ − Ωµ ν Ω + m v V µ V − Bµ ν · B µ ν 4 2 4 1 2 1 µν µ + mρ bµ · b − Fµ ν F } 2 4 +ψi iγ µ ∂ ν ψi + ψe iγ µ ∂ ν ψe +∂ µ φ∂ ν φ − Ωµν ∂ ν Vν −B µν · ∂ ν bν − F µν ∂ ν Aν (2.39) Usando as equa¸ c˜ oes de movimento para os campos dos nucleons e dos el´ etrons, temos que os primeiros termos da equa¸ c˜ ao s˜ ao nulos, e desta forma: 1 1 1 2 ∂µ φ∂ µ φ − m2 − kφ3 − λφ4 sφ 2 3! 4! 1 1 2 1 µν µ − Ωµ ν Ω + m v V µ V − Bµ ν · B µ ν 4 2 4 1 2 1 µ µν + mρ bµ · b − Fµ ν F ] 2 4 +ψi iγ µ ∂ ν ψi + ψe iγ µ ∂ ν ψe +∂ µ φ∂ ν φ − Ωµν ∂ ν Vν −B µν · ∂ ν bν − F µν ∂ ν Aν (2.40) T µν = −g µν [ Do tensor densidade de energia-momento, tomando a componente T 00 , obtemos a densidade de Hamiltoniana: 1 1 1 1 2 ∂µ φ∂ µ φ − m2 − kφ3 − λφ4 − Ωµν Ωµν sφ 2 3! 4! 4 1 2 1 1 1 + mv Vµ V µ − Bµν · B µν + m2 bµ · bµ − Fµν F µν ] 2 4 2 ρ 4 0 0 0 0 +ψi iγ ∂ ψi + ψe iγ ∂ ψe (2.41) H = −[ +∂ 0 φ∂ 0 φ − Ω0ν ∂ 0 Vν − B 0ν · ∂ 0 bν − F 0ν ∂ 0 Aν 28 ˜ ´ 2.2 APROXIMAC ¸ OES DE CAMPO MEDIO E THOMAS-FERMI As equa¸ c˜ oes de movimento para os campos mesˆ onicos que obtivemos na u ´ltima se¸ c˜ ao s˜ ao equa¸ c˜ oes de campo n˜ ao lineares, com solu¸ c˜ oes muito complicadas. Como esperamos que as constantes de acoplamento gs , gv e gρ sejam grandes, tamb´ em n˜ ao podemos esperar utilizar m´ etodos perturbativos para solucionar as equa¸ c˜ oes. No entanto, existe uma aproxima¸ c˜ ao que se torna cada vez mais v´ alida conforme a densidade nuclear aumenta, a chamada aproxima¸ c˜ ao de campo m´ edio. Os termos de fonte no lado direito das equa¸ c˜ oes de movimento aumentam com a densidade bariˆ onica, e quando esses termos s˜ ao grandes, os operadores de campo mesˆ onicos e do campo eletromagn´ etico podem ser substitu´ ıdos pelos seus valores esperados. Para um sistema est´ atico e uniforme, a invariˆ ancia rotacional implica que os valores esperados das componentes espaciais dos campos quadridimensionais se anulam, restando somente as componentes tipo tempo. (SEROT et al., 1986. (Advances in nuclear physics, v.16)) Considerando tamb´ em a invariˆ ancia em rela¸ c˜ ao a rota¸ c˜ oes em torno do terceiro eixo do espa¸ co de isospin, somente a terceira componente isovetorial do campo do m´ eson ρ permanece. (BUNCA; GMUCA, 2003) Isto pode ser escrito formalmente como: ˆ = φ0 (x) φ Vˆµ = V0 (x)δµ0 µ bˆ = b0 (x)δµ0 δi3 i (2.42) (2.43) (2.44) (2.45) ˆµ = A0 (x)δµ0 A Com ∂ 0 φ0 = ∂ 0 V0 = ∂ 0 b0 = ∂ 0 A0 = 0 Dessa forma, na aproxima¸ c˜ ao de campo m´ edio: (2.46) 29 H = 1 1 1 1 ∇φ0 · ∇φ0 + m2 φ2 + κφ3 + λφ4 2 2 s 0 3! 4! 1 1 1 1 − ∇V 0 · ∇V 0 − m 2 V 2 − ∇b0 · ∇b0 − m2 b2 2 2 v 0 2 2 ρ 0 1 (2.47) − ∇A0 · ∇A0 + ψi iγ 0 ∂ 0 ψi + ψe iγ 0 ∂ 0 ψe 2 Onde utilizamos a rela¸ c˜ ao: 1 Ωµν Ωµν 4 1 (∂µ Vν − ∂ν Vµ ) (∂ µ V ν − ∂ ν V µ ) 4 1 (∂µ Vν ∂ µ V ν − ∂µ Vν ∂ ν V µ ) = 2 1 = ∂µ V0 ∂ µ V0 − ∂µ V0 ∂ 0 V0 2 1 = − ∇V0 · ∇V0 2 = (2.48) E rela¸ c˜ oes similares para os demais tensores. Ent˜ ao, a partir das equa¸ c˜ oes de movimento para o campo do n´ ucleon e do el´ etron (2.19) e (2.22), calculadas na aproxima¸ c˜ ao de campo m´ edio, podemos escrever: iγ 0 ∂0 ψi {−iγ · ∇ + γ 0 [gv V0 + gρ b0 τ3 2 (2.49) = e + (1 + τ3 ) A0 ] + m∗ }ψi 2 iγ 0 ∂0 ψe = −iγ · ∇ − γ 0 eA0 + me φe Ou seja, ψi iγ 0 ∂0 ψi † 0 ψi γ {−iγ · ∇ + γ 0 [gv V0 + (2.50) = e + (1 + τ3 ) A0 ] + M ∗ }ψi 2 gρ b0 τ 3 2 (2.51) † 0 ψe iγ 0 ∂0 ψe = ψe γ −iγ · ∇ − γ 0 eA0 + me φe (2.52) Portanto, como γ 0 γ = α e γ 0 = β , podemos escrever a hamilto- 30 niana como: 1 ˆ† d3 r ψi [−iα · ∇ + β (M − gs φ(r)) + gv V0 (r) + gρ τ3 b0 (r) 2 1 + τ3 1 κ 2 3 ˆi + +e A0 (r)]ψ (∇φ(r))2 + m2 s φ (r ) + φ (r ) 2 2 6 λ 1 2 + φ4 (r ) − (∇V0 (r))2 + m2 v V0 ( r ) 24 2 2 1 1 2 − (∇b0 (r))2 + m2 ∇ A0 ( r ) ρ b0 (r ) − 2 2 ˆ† ˆe +ψe −iα · ∇ + βme − eA0 (r) ψ (2.53) ˆ H = Podemos tamb´ em escrever as equa¸ c˜ oes de movimento para os campos mesˆ onicos e o campo eletromagn´ etico na aproxima¸ c˜ ao de campo m´ edio, a partir das que t´ ınhamos obtido anteriormente, usando ψ i = † γ 0 ψi : 1 2 1 3 ˆ ˆ −∇2 + m2 s φ = gs ψi ψi − κφ − λφ 2 6 ˆ† ˆ −∇2 + m2 v V0 = gv ψi ψi −∇2 + m2 ρ b0 = gρ ˆ† ˆ ψi τ3 ψi 2 ˆ† ˆ ψe − e ψe (2.54) (2.55) (2.56) (2.57) ˆ† 1 + τ3 ˆ −∇2 A0 = e ψi ψi 2 Onde os valores esperados acima, que correspondem a densidades, dependem da posi¸ c˜ ao espacial. Finalmente, realizamos a aproxima¸ c˜ ao de Thomas-Fermi, identificando os operadores de campo da seguinte maneira: ˆ† ˆ ρ(r) = ρp (r) + ρn (r) = ψi ψi ˆτ ψ ˆ ρ3 (r) = ρp (r) − ρn (r) = ψ i 3 i ˆψ ˆ ρs (r) = ρsp (r) + ρsn (r) = ψ i i (2.58) (2.59) (2.60) 31 ˆ† ˆ ρe (r) = ψe ψe (2.61) Escrevemos as equa¸ c˜ oes de movimento em fun¸ c˜ ao das densidades: 1 2 1 3 −∇2 + m2 s φ = gs ρs (r ) − κφ − λφ 2 6 −∇2 + m2 v V0 = gv ρ(r ) −∇2 + m2 ρ b0 = gρ ρ3 ( r ) 2 (2.62) (2.63) (2.64) (2.65) −∇2 A0 = e (ρp (r) − ρe (r)) 32 33 ˜ DE WIGNER-KIRKWOOD 3 EXPANSAO Um m´ etodo sistem´ atico de derivar a aproxima¸ c˜ ao Thomas-Fermi estendida (TFE) ´ e utilizar a expans˜ ao Wigner-Kirkwood (WK) do propagador em ordens de . Para realizar essa expans˜ ao, ´ e necess´ ario conhecer a transformada de Weyl do comutador que aparece na equa¸ c˜ ao de Bloch para a hamiltoniana. A transformada de Weyl ´ e definida no ˆ ambito da formula¸ c˜ ao de Weyl-Wigner da mecˆ anica quˆ antica. Nesta se¸ c˜ ao, exploraremos essa formula¸ c˜ ao e definiremos a transformada de Weyl, com a inten¸ c˜ ao de obter a transformada de um produto de operadores quaisquer, e a partir da´ ı, das suas rela¸ c˜ oes de comuta¸ c˜ ao e anticomuta¸ ca ˜o segundo o m´ etodo descrito na referˆ encia (MARCHIOLLI, 2002) e abordado a seguir neste cap´ ıtulo. Come¸ camos caracterizando as rela¸ co ˜es de comuta¸ c˜ ao associadas ˆ, P ˆeˆ aos operadores Q 1 em uma ´ algebra de Weyl-Heisenberg, ou seja, para um sistema quˆ antico de uma part´ ıcula realizando movimento unidimensional: ˆ Q ˆ = P ˆ, P ˆ = Q, ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ P ˆ =i ˆ Q, 1 = P 1 = 0, e Q, 1 Os autovetores s˜ ao definidos pelas equa¸ c˜ oes: ˆ |q = q |q , P ˆ |p = p |p , ˆ Q 1 |q = |q , ˆ 1 |p = |p , (3.1) (3.2) As bases dos autovetores, q e p, devem ser ortonormais e completas, satisfazendo portanto as rela¸ c˜ oes: ∞ ∞ dq |q q | = 1, −∞ −∞ dp |p p| = 1 (3.3) (3.4) q |q = δ (q − q ), p|p = δ (p − p ) Al´ em disso, o produto interno entre os autovetores da base ´ e q |p = √ 1 exp 2π i pq (3.5) Utilizando a rela¸ c˜ ao de completeza, escrevemos a seguinte idenˆ: tidade para um operador arbitr´ ario F 34 ∞ ˆ= F −∞ dp dp dq dq |q q |p ˆ |p p |F p |q q| (3.6) E usando a express˜ ao para o produto escalar: ∞ ˆ= F −∞ dp dp dq dq i exp (p q − p q ) 2π ˆ |p |q p |F q| (3.7) Realizamos ent˜ ao uma mudan¸ ca de vari´ aveis: 2p = p + p , 2q = q + q , u = p − p , v = q − q (3.8) p =p− u v v u , p =p+ , q =q− , q =q+ 2 2 2 2 (3.9) Calculamos o jacobiano: p ,p p, u 1 1 1 −2 1 2 dp dp dq dq = J = J 1 1 q ,q q, v −1 2 1 2 dp dq du dv dp dq du dv (3.10) = dp dq du dv Notamos tamb´ em que: p q − p q = (p + u/2) (q + v/2) − (p − u/2) (q − v/2) pq + qu pv uv pv qu uv − + − pq + + − = qu + pv 2 2 4 2 2 4 (3.11) 35 ˜ DE WEYL-WIGNER DA MECANICA ˆ ˆ 3.1 FORMULAC ¸ AO QUANTICA Da maneira que foi apresentada anteriormente, podemos reesˆ nas novas coordenadas p, q, u, v. Isto leva ` crever o operador F a representa¸ c˜ ao do operador na formula¸ c˜ ao de Weyl-Wigner da Mecˆ anica Quˆ antica no espa¸ co de fase. i dp dq du dv ˆ |p − u/2 exp qu p + u/2| F 2 π −∞ i exp pv |q + v/2 q − v/2| (3.12) ∞ ˆ F = Ou ent˜ ao: ∞ ˆ= F −∞ dp dq ˆ p, q ) fW (p, q )∆( 2π (3.13) Onde a fun¸ c˜ ao ∞ fW (p, q ) ≡ −∞ du exp i qu ˆ |p − u/2 p + u/2| F (3.14) ˆ, e ´ e a transformada de Weyl do operador F ∞ ˆ p, q ) ≡ ∆( −∞ dv exp i pv |q + v/2 q − v/2| (3.15) ´ e um operador hermitiano que representa uma base no espa¸ co dos operadores, de forma que a express˜ ao (3.13) pode ser considerada ˆ em uma outra base. como uma expans˜ ao do operador F Nesta forma, n˜ ao estamos tratando igualmente as vari´ aveis p e q, pois ao escolher a ordem dos conjuntos na mudan¸ ca de vari´ aveis, privilegiamos uma delas. De fato, o processo utilizado n˜ ao ´ eu ´nico, e ˆ p, q ) de forma sim´ ´ e poss´ ıvel construir o operador ∆( etrica. Para tal, notamos o seguinte: 36 p|q + v/2 = √ Portanto, 1 −i exp p (q + v/2) = exp 2π −i pv p|q − v/2 (3.16) i ˆ |q − v/2 |q + v/2 = exp − v P (3.17) Isto pode ser notado fazendo o produto de ambos os lados da equa¸ c˜ ao por p| ` a esquerda. Agora, inserindo na equa¸ c˜ ao (3.15) ∞ ˆ p, q ) ≡ ∆( −∞ dv exp i i ˆ pv exp − P v |q − v/2 q − v/2| (3.18) Onde identificamos o operador de proje¸ c˜ ao |q − v/2 q − v/2|, que pode ser reescrito atrav´ es da identidade |q q | = 1 2π ∞ du exp −∞ i (q − q ˆ)u (3.19) ˆ p, q ) fica Com isso, o operador ∆( ∞ ˆ p, q ) = ∆( −∞ du dv i ˆ )v exp i (q − v/2 − Q ˆ )u exp (p − P 2π (3.20) Dada a rela¸ c˜ ao de Baker-Campbell-Hausdorff, ˆ exp B ˆ exp − 1 [A, ˆ B ˆ] exp A 2 ˆ exp A ˆ exp 1 [A, ˆ B ˆ] = exp B 2 ˆ+B ˆ exp A = (3.21) que ´ e v´ alida sempre que os operadores comutam com o seu comutador, podemos reescrever o o integrando da equa¸ c˜ ao (3.20) como 37 exp = exp i i ˆ )v exp i (q − v/2 − Q ˆ )u (p − P ˆ )v + (q − v/2 − Q ˆ )u] [(p − P 1 ˆ )v, (q − v/2 − Q ˆ )u] [(p − P 2 2 ˆ )v + (q − v/2 − Q ˆ )u] exp [(p − P ˆ )v + (q − Q ˆ )u] [(p − P 1 i uv 2 2 (3.22) × exp = = exp exp i i E finalmente, obtemos ∞ ˆ p, q ) = ∆( −∞ du dv exp 2π i ˆ )v + ( q − Q ˆ )u] [(p − P (3.23) Desta express˜ ao, podemos obter uma forma para o operador ˆ p, q ) que ´ ∆( e a contrapartida da equa¸ c˜ ao (3.15), ∞ ˆ p, q ) ≡ ∆( −∞ du exp i qu |p − u/2 p + u/2| (3.24) Para mostrar que esta equa¸ c˜ ao ´ e de fato equivalente ` a (3.15), fazemos um procedimento an´ alogo ao utilizado para obter a equa¸ c˜ ao (3.23) da equa¸ c˜ ao (3.15) 38 ∞ ˆ p, q ) ≡ ∆( −∞ ∞ du exp i i ˆ qu |p − u/2 p − u/2| exp − Qu = = = = i du dv ˆ )u exp i (p + u − P ˆ )v exp (q − Q 2 π 2 −∞ ∞ i du dv ˆ )v + ( q − Q ˆ )u] exp i uv exp [(p − P 2 π 2 −∞ u 1 ˆ )v (q − Q ˆ )u × [exp{− 2 [(p + − P 2 2 ˆ )u(p + u − P ˆ )]}] −(q − Q 2 ∞ du dv i ˆ )v + ( q − Q ˆ )u] exp [(p − P −∞ 2π i uv 1 × exp exp − 2 i uv 2 2 ∞ i du dv ˆ )v + ( q − Q ˆ )u] exp [(p − P (3.25) 2 π −∞ ˆ a partir da sua transUm m´ etodo para se obter o operador F formada de Weyl ´ e dado a seguir. Consideremos a express˜ ao para o ˆ p, q ) dada adiante. Para obtˆ operador ∆( e-la, basta utilizar a segunda igualdade na rela¸ c˜ ao de Baker-Campbell-Hausdorff (3.21) e aplic´ a-la ` a equa¸ c˜ ao (3.20). i du dv ˆ )v ] {exp [(q − Q −∞ 2π i ˆ )v ] exp i uv } × exp [(p − P 2 ∞ ˆ p, q ) ∆( = (3.26) Vejamos ent˜ ao a seguinte igualdade ∂2 i ˆ )u exp i (p − P ˆ )v exp (q − Q 2i ∂p∂q = i i ˆ )u exp i (p − P ˆ )v uv exp (q − Q 2 (3.27) Da´ ı podemos constatar que o integrando na equa¸ c˜ ao (3.26) pode ser escrito da forma 39 ∞ k=0 1 k! i uv 2 k exp i ˆ )u exp i (p − P ˆ )v (q − Q ∞ = k=0 1 k! ∂2 2i ∂p∂q k exp i ˆ )u exp (q − Q i ˆ )v (p − P (3.28) E, portanto, ∂2 2i ∂p∂q i i exp exp ˆ )u exp (q − Q ˆ )v (p − P = exp i i ˆ )u exp i (p − P ˆ )v uv exp (q − Q 2 (3.29) Substituindo na express˜ ao (3.23), obtemos ∞ ∂2 du dv exp 2i ∂p∂q −∞ 2π i ˆ )v ] × exp [(p − P ˆ p, q ) ∆( = exp i ˆ )v ] [(q − Q = 2π exp ∂2 2i ∂p∂q ˆ ) δ (p − P ˆ) δ (q − Q (3.30) Utilizando a rela¸ c˜ ao ∞ dx f (x) −∞ dm δ ( x) dxm = = dm f (x)|x=0 dxm ∞ dm (−1)m dx f ( x) δ ( x) dxm −∞ (3.31) (−1)m ˆ Ficamos com a seguinte equa¸ c˜ ao para o operador F 40 ∞ ˆ F = −∞ ∞ dp dq fW (p, q ) exp dp dq exp −∞ ∂2 2i ∂p∂q ˆ ) δ (p − P ˆ) δ (q − Q = ∂2 2i ∂p∂q ˆ ) δ (p − P ˆ) fW (p, q ) δ (q − Q (3.32) Uma caracter´ ıstica interessante do formalismo que estamos descrevendo ´ e que ´ e poss´ ıvel obter uma fun¸ c˜ ao cl´ assica que corresponde ao ˆ atrav´ operador F es da sua transformada de Weyl. A fun¸ c˜ ao fW (p, q ) pode, em geral, ser expressa como uma s´ erie de potˆ encias de , de maneira que realizando o limite → 0, obtemos a fun¸ c˜ ao da Mecˆ anica Cl´ assica correspondente. fcl (p, q ) = lim fW (p, q ) →0 (3.33) 3.2 PROPRIEDADES DO OPERADOR DELTA ˆ p, q ) representa parte importante no formalismo O operador ∆( de Weyl-Wigner, e podemos obter uma s´ erie de propriedades u ´teis para ˆ p, q ) este operador. Primeiramente, vamos notar que o operador ∆( pode ser ele mesmo expandido da seguinte forma ∞ ˆ p ,q ) = ∆( −∞ dp dq ˆ p, q ) fW (p, q )∆( 2π (3.34) onde fW (p, q ) = 2π δ (p − p ) δ (q − q ). Tamb´ em podemos calcular ˆ p, q ) certos elementos de matriz utilizando as formas do operador ∆( obtidas anteriormente. 41 ∞ ˆ p, q ) |q q | ∆( = −∞ du exp 1 2π ∞ i qu i q |p − u/2 p + u/2|q qu exp i q p− u 2 = du exp −∞ i × exp − q = 1 2π × exp = exp i ∞ p+ du {exp −∞ u 2 i p(q − q ) } q +q 2 (3.35) i u q− q +q 2 p(q − q ) δ q − ∞ ˆ p, q ) |p p | ∆( = −∞ dv exp 1 2π × exp ∞ i pv i u 2 p |q + v/2 q − v/2|p i pv exp − p q+ u 2 = dv exp −∞ i ∞ p q− = 1 2π × exp i dv {exp − q (p − p ) v p− p +p 2 } (3.36) −∞ i i p +p = exp − q (p − p ) δ p − 2 42 ˆ p, q ) |p q | ∆( ∂2 ˆ ) δ (p − P ˆ ) |p q | δ (q − Q 2i ∂p∂q ∞ ∂2 ˆ ) |q dq { q | δ (q − Q = 2π exp 2i ∂p∂q −∞ ˆ ) |p } × q | δ (p − P ∂2 = 2π exp δ (p − p ) 2i ∂p∂q ∞ dq i √ × p q δ (q − q )δ (q − q ) exp 2π −∞ √ i ∂2 = p q exp δ (p − p )δ (q − q ) 2π 2i ∂p∂q (3.37) = 2π exp ˆ p, q ) nas vari´ J´ a a integra¸ c˜ ao do operador ∆( aveis p e q d˜ ao como resultado os projetores nos espa¸ cos de posi¸ c˜ ao e momento: ∞ −∞ ∞ −∞ dp ˆ ∆(p, q ) = |q q | 2π dq ˆ ∆(p, q ) = |p p| 2π (3.38) (3.39) ´ poss´ E ıvel tamb´ em escrever a transformada de Weyl de um opeˆ de uma forma compacta. Observando que rador F ˆ= Tr F dp ˆ |p p |F (3.40) chegamos ao seguinte resultado ˆ |p p |F ˆ |p = Tr F = = dp p | p |p (3.41) ˆ |p p |F ˆ |p p |F De maneira que podemos escrever, a partir da equa¸ c˜ ao (3.24): 43 ∞ ˆ ∆( ˆ p, q ) Tr F = −∞ ∞ du dp exp du exp −∞ i qu ˆ |p − u/2 p + u/2|p p |F = i qu ˆ |p − u/2 p + u/2| F (3.42) = fW (p, q ) Se tomamos a transformada de Wigner do operador densidade ˆ=ρ correspondente a um dado sistema, ou seja, identificamos F ˆ, temos o que ´ e chamado de fun¸ c˜ ao de Wigner, definida desta maneira pela seguinte equa¸ c˜ ao: ∞ W (p, q ) = −∞ dv exp i pv q − v/2| ρ ˆ |q + v/2 (3.43) E desta forma, utilizando as equa¸ c˜ oes (3.38) e (3.39), obtemos ∞ −∞ ∞ −∞ dp W (p, q ) = |Ψ(q )|2 2π dq W (p, q ) = |Φ(p)|2 2π (3.44) (3.45) Ou seja, integrando a fun¸ c˜ ao de Wigner nas vari´ aveis p e q, obtemos as densidades de probabilidades referentes ` as fun¸ c˜ oes de onda de posi¸ c˜ ao e momento. Para os nossos prop´ ositos, ´ e fundamental obter as transformadas de Weyl das rela¸ c˜ oes de comuta¸ c˜ ao e anticomuta¸ c˜ ao de dois operadores arbitr´ arios. Para isso, vamos explorar inicialmente a forma do tra¸ co do ˆ p, q ), pois ela ser´ produto de operadores ∆( a necess´ aria para calcular a transformada de Weyl de um produto de operadores arbitr´ arios. Da defini¸ c˜ ao do tra¸ co e da equa¸ c˜ ao (3.15), temos: ∞ ˆ p, q ) T r ∆( = −∞ ∞ dv dp exp dv exp −∞ i pv p |q + v/2 q − v/2|p (3.46) = i pv q − v/2|q + v/2 = 1 ˆ p, q ), inserindo um conPara o produto de dois operadores ∆( junto completo no integrando e utilizando a propriedade dos operadores 44 ˆ p, q ) dada na equa¸ ∆( c˜ ao (3.35), escrevemos: ∞ ˆ p1 , q1 )∆( ˆ p2 , q2 ) T r ∆( = −∞ ∞ ˆ p1 , q1 )∆( ˆ p2 , q2 ) |q dq q | ∆( ˆ p1 , q1 ) |q dq dq { q | ∆( −∞ = = ˆ p2 , q2 ) |q } × q | ∆( ∞ i dq dq exp (q − q )(p1 − p2 ) −∞ × δ q1 − q +q 2 δ q2 − q +q 2 (3.47) Fazemos uma substitui¸ c˜ ao de vari´ aveis q + q = 2x1 e q − q = x2 , com jacobiano igual a um, e obtemos a equa¸ c˜ ao ∞ ˆ p1 , q1 )∆( ˆ p2 , q2 ) T r ∆( = −∞ dx1 dx2 {exp i x2 (p1 − p2 ) × δ (q1 − x1 )δ (q2 − x1 )} = 2π δ (p1 − p2 )δ (q1 − q2 ) (3.48) ˆ p, q ), realizamos um proPara o produto de trˆ es operadores ∆( cedimento muito similar: ˆ p1 , q1 )∆( ˆ p2 , q2 )∆( ˆ p3 , q3 ) T r ∆( ∞ = −∞ ∞ ˆ p1 , q1 )∆( ˆ p2 , q2 )∆( ˆ p3 , q3 ) |q dq q | ∆( dq dq −∞ ∞ = = −∞ ˆ p1 , q1 ) |q q | ∆( i ˆ p2 , q2 ) |q q | ∆( ˆ p3 , q3 ) |q q | ∆( dq dq dq exp × δ q1 − q +q 2 [p1 (q − q ) + p2 (q − q ) + p3 (q − q )] q +q 2 δ q3 − q +q 2 (3.49) δ q2 − Fazemos a substitui¸ c˜ ao q + q = 2x1 , q + q = 2x2 e q + q = 45 2x3 . Observamos o c´ alculo do jacobiano: q ,q ,q x1 , x2 , x3 1 1 −1 −1 1 1 dq dq dq = J dx1 dx2 dx3 dx1 dx2 dx3 (3.50) = = Desta maneira, 1 −1 1 4 dx1 dx2 dx3 ˆ p1 , q1 )∆( ˆ p2 , q2 )∆( ˆ p3 , q3 ) T r ∆( ∞ = 4 −∞ dx1 dx2 dx3 δ (q1 − x1 )δ (q2 − x2 )δ (q3 − x3 ) 2i 2i [(x1 − x3 )(p2 − p3 ) − (x2 − x3 )(p1 − p3 )] × exp = 4 exp [(q1 − q3 )(p2 − p3 ) − (q2 − q3 )(p1 − p3 )] (3.51) 3.3 TRANSFORMADA DE WEYL DO PRODUTO DE DOIS OPE´ RADORES ARBITRARIOS Estamos agora com capacidade para calcular a transformada de ˆe B ˆ . Partimos da Weyl do produto de dois operadores arbitr´ arios A ˆB ˆ: representa¸ c˜ ao dada na equa¸ c˜ ao (3.13), agora para o produto A dp1 dq1 dp2 dq2 ˆ p1 , q1 )BW (p2 , q2 )∆( ˆ p2 , q2 ) AW (p1 , q1 )∆( (2π )2 −∞ (3.52) Para calcular a transformada de Weyl, utilizamos a defini¸ c˜ ao (3.42) e o resultado do tra¸ co de trˆ es operadores delta dado pela equa¸ c˜ ao (3.51): ˆB ˆ= A ∞ 46 ˆB ˆ )W (A ˆB ˆ ∆( ˆ p, q ) = Tr A = dp1 dq1 dp2 dq2 AW (p1 , q1 )BW (p2 , q2 ) (2π )2 −∞ 2i × exp [(q1 − q )(p2 − p) − (q2 − q )(p1 − p)] 4 (3.53) ∞ Fazemos a mudan¸ ca de vari´ aveis p ¯ = p2 − p, q ¯ = q2 − q , obtendo: ˆB ˆ )W (A dp1 dq1 dp ¯ dq ¯ AW (p1 , q1 )BW (¯ p + p, q ¯ + q) 2 (2π ) −∞ 2i [¯ p(q1 − q ) − q ¯(p1 − p)] (3.54) × exp 4 ∞ = Realizando a expans˜ ao em s´ erie de Taylor de BW (¯ p + p, q ¯ + q) em torno de BW (p, q ), chega-se a: ˆB ˆ )W (A dp1 dq1 dp ¯ dq ¯ AW (p1 , q1 ) 2 (2π ) −∞ 2i ∂ ∂ × exp [¯ p(q1 − q ) − q ¯(p1 − p)] exp p ¯ +q ¯ BW (p, q ) ∂p ∂q (3.55) 4 ∞ = No desenvolvimento da s´ erie da transformada de Weyl BW (¯ p+ p, q ¯ + q ), os termos em p ¯eq ¯ podem ser vistos, respectivamente, como tendo originado-se em deriva¸ c˜ oes tais como: − ∂ exp 2i ∂q 2i 2i [¯ p(q1 − q ) − q ¯(p1 − p)] ∂ exp 2i ∂p [¯ p(q1 − q ) − q ¯(p1 − p)] Portanto, p ¯e q ¯ podem ser substitu´ ıdos pelos operadores diferenciais dados acima, atuando na primeira exponencial. Dessa maneira, a equa¸ c˜ ao (3.55) fica: 47 ˆB ˆ )W (A = 4 dp1 dq1 dp ¯ dq ¯ AW (p1 , q1 ) 2 (2 π ) −∞ 2i [¯ p(q1 − q ) − q ¯(p1 − p)] × exp ∂← ∂→ ∂← ∂→ − ∂p ∂q ∂q ∂p BW (p, q ) ∞ × exp ∞ 2i = −∞ dp1 dq1 AW (p1 , q1 ) δ (p1 − p) δ (q1 − q ) ∂← ∂→ ∂← ∂→ − BW (p, q ) 2i ∂p ∂q ∂q ∂p ∂← ∂→ ∂← ∂→ − BW (p, q ) AW (p, q ) exp 2i ∂p ∂q ∂q ∂p (3.56) × exp = Podemos utilizar uma nota¸ c˜ ao alternativa: ∂ (A) ∂ (B ) ∂ (A) ∂ (B ) − AW (p, q )BW (p, q ) ∂p ∂q ∂q ∂p ˆB ˆ )W = exp (A (3.57) Temos finalmente condi¸ c˜ oes de calcular as transformadas de Weyl do comutador e do anticomutador de dois operadores arbitr´ arios: −i 2 ∂ (A) ∂ (B ) ∂ (A) ∂ (B ) − ∂p ∂q ∂q ∂p } ˆ B ˆ ])W ([A, = {exp −exp i ∂ (A) ∂ (B ) ∂ (A) ∂ (B ) − 2 ∂p ∂q ∂q ∂p × AW (p, q )BW (p, q ) = 2i sen 2 ∂ (A) ∂ (B ) ∂ (A) ∂ (B ) − ∂p ∂q ∂q ∂p AW (p, q )BW (p, q ) (3.58) 48 ˆ B ˆ })W ({A, = {exp +exp −i 2 ∂ (A) ∂ (B ) ∂ (A) ∂ (B ) − ∂p ∂q ∂q ∂p } i ∂ (A) ∂ (B ) ∂ (A) ∂ (B ) − 2 ∂p ∂q ∂q ∂p × AW (p, q )BW (p, q ) = 2 cos 2 ∂ (A) ∂ (B ) ∂ (A) ∂ (B ) − ∂p ∂q ∂q ∂p AW (p, q )BW (p, q ) (3.59) Podemos notar que o termo de ordem mais baixa da expans˜ ao (3.58) corresponde aos parˆ enteses de Poisson das transformadas de Weyl de A e B, multiplicados por i , e o da expans˜ ao (3.59) ao produto delas multiplicado por 2. Isso significa que ´ e poss´ ıvel encontrar um an´ alogo cl´ assico da equa¸ c˜ ao de von Neumann-Liouville, que ´ e a equa¸ c˜ ao de Liouville da mecˆ anica cl´ assica. Dessa forma mostra-se que a dinˆ amica quˆ antica tende ` a dinˆ amica cl´ assica quando tende a 0. (MARCHIOLLI, 2002) 49 ´ 4 METODO DE THOMAS-FERMI ESTENDIDO RELATIV´ ISTICO Pretendemos nesta se¸ c˜ ao realizar a expans˜ ao em potˆ encias de do propagador de Bloch associado ` a hamiltoniana de Dirac, como ´ e realizado nas referˆ encias (CENTELLES et al., 1990; CENTELLES, 1992). Uma expans˜ ao para o caso n˜ ao-relativ´ ıstico ´ e realizada na referˆ encia (RING; SCHUCK, 1980). Para hamiltonianas cuja contrapartida cl´ assica ´ e um escalar, a expans˜ ao em potˆ encias de pode ser realizada de v´ arias maneiras, que podem ser consideradas equivalentes. J´ a para hamiltonianas com estrutura matricial, como no caso relativ´ ıstico, estes m´ etodos n˜ ao funcionam, pois produzem uma s´ erie de potˆ encias infinita para cada ordem da expans˜ ao, e ainda misturam estados de energia positiva e negativa. No caso relativ´ ıstico, o c´ alculo fica mais complexo devido a n˜ ` ao-comutatividade das matrizes que comp˜ oem a hamiltoniana, e se torna necess´ ario realizar a soma da s´ erie de potˆ encias independentemente para solu¸ c˜ oes de energia positiva e negativa, como ´ e feito no m´ etodo que utilizamos. Em mecˆ anica quˆ antica, o problema descrito por uma hamiltoniana de part´ ıcula u ´nica independente do tempo tem um propagador associado dado por: ˆ = exp −η H ˆ G (4.1) Onde η ´ e um parˆ ametro proporcional ao tempo, mas que tamb´ em pode ser interpretado como uma temperatura inversa. A equa¸ c˜ ao de Bloch para o propagador ´ e obtida diferenciando em rela¸ c˜ ao a η : ˆ ∂G ˆG ˆ = −G ˆH ˆ = −H ∂η Para realizar a expans˜ ao em ordens de escrevˆ e-la de maneira sim´ etrica: ˆ ∂G 1 ˆ ˆ + H, G = 0 ∂η 2 (4.2) desta equa¸ c˜ ao, conv´ em (4.3) A transformada de Wigner da equa¸ c˜ ao (4.3) pode ser escrita como (CENTELLES et al., 1990): ˆw ∂G 1 + ∂η 2 Hw , exp i Λ↔ 2 , Gw =0 (4.4) 50 Onde i Λ↔ , Bw 2 i Λ↔ Bw + Bw exp 2 Aw , exp = Aw exp i Λ↔ 2 Aw (4.5) E o operador Λ↔ ´ e dado por: → ← → Λ↔ ≡ ∇← r · ∇ p − ∇ p · ∇r (4.6) Escrevendo explicitamente a transformada de Wigner do propagador como uma s´ erie em potˆ encias de : ∞ Gw = n=0 hn Gn (4.7) Desde que Hw n˜ ao dependa de , podemos expandir a exponencial e igualar os termos correspondentes ` a mesma ordem em , obtendo um conjunto de equa¸ c˜ oes diferenciais acopladas para Gw de acordo com o descrito na referˆ encia (CENTELLES et al., 1990): 1 1 ∂Gn + ∂η 2 m=0 m! Em ordem zero, 1 ∂G0 + {Hw , 1, G0 } = 0 ∂η 2 Que tem como solu¸ c˜ ao G0 = exp (−ηHw ) (4.10) (4.9) n i 2 m {Hw , (Λ↔ ) , Gn−m } = 0 m (4.8) Assim que conhecemos G0 , podemos determinar uma f´ ormula recursiva para calcular as ordens seguintes da expans˜ ao do propagador. Para a primeira ordem, temos: ∂G1 1 i + {Hw , 1, G1 } + {Hw , Λ↔ , G0 } = 0 ∂η 2 4 (4.11) Qualquer potˆ encia de G0 ´ e bem definida, j´ a que o propagador ´ e uma exponencial. Ent˜ ao, definimos: 51 2 ¯ 2 G1 = G0 G1 G0 1 1 (4.12) Diferenciando em rela¸ c˜ ao a η : ¯1 1 1 ∂G ∂G1 1 2 = − {Hw , 1, G1 } + G0 G2 ∂η 2 ∂η 0 Combinando com a equa¸ c˜ ao (4.11), obtemos: ¯1 i −1 ∂G −1 = − G0 2 {Hw , Λ↔ , G0 } G0 2 ∂η 4 Integrando e usando (4.12), ficamos com: i 1 2 G1 = − G0 4 η 0 1 −2 1 −2 1 2 G0 (4.13) (4.14) dη G0 {Hw , Λ↔ , G0 } G0 (4.15) O m´ etodo utilizado para obter a equa¸ c˜ ao recursiva para G1 pode ser generalizado para ordens superiores Gn da expans˜ ao. Assim, definimos em analogia ` a equa¸ c˜ ao (4.12): 2 ¯ 2 Gn = G0 Gn G0 1 1 (4.16) Ap´ os diferencia¸ c˜ ao em rela¸ c˜ ao a η e com o aux´ ılio da equa¸ c˜ ao (4.8): ¯n ∂G 1 −1 = − G0 2 ∂η 2 1 m! m=1 n i 2 m m {Hw , (Λ↔ ) , Gn−m } G0 1 −2 (4.17) E finalmente: 1 1 1 2 = − G0 [ 2 m ! m=1 η n Gn i 2 m × 0 dη G0 −1 2 2 {Hw , (Λ↔ ) , Gn−m } G0 2 ]G0 m −1 1 (4.18) 52 ´ 4.1 CALCULO DA MATRIZ DENSIDADE Desta maneira, obtemos uma rela¸ c˜ ao recursiva que permite obter qualquer ordem Gn da expans˜ ao do propagador desde que seja conhecido os termos de ordem inferior Gn−m . O problema principal ent˜ ao ´ e o de calcular a a¸ c˜ ao do operador Λ↔ sobre G e H. N˜ ao descreveremos o procedimento completo aqui, exceto para o caso mais simples da ordem zero, mas apenas apresentaremos, de acordo com a referˆ encia ˆ , que ´ (CENTELLES, 1992), os resultados para a matriz densidade R e obtida do propagador atrav´ es de uma transformada de Laplace inversa (PARR; YANG, 1989. (International series of monographs on chemistry, no. 16)): ˆ (λ) = 1 R 2πi c+i∞ dη exp(ηλ) c−i∞ ˆ (η ) ˆ (η ) G G ˜ −1 =L η →λ η η (4.19) Onde λ ´ e o potencial qu´ ımico. Utilizando a expans˜ ao do propagador em ordens de , podemos escrever a seguinte express˜ ao para a matriz densidade: ˆ (η ) G ˜ −1 Rw = L = R0 + R1 + η →λ η 2 R2 + ... (4.20) Supomos uma hamiltoniana de Dirac do tipo que descreve uma part´ ıcula submetida a um campo escalar e ` a componente tipo tempo de um campo quadrivetorial, como no caso dos modelos σ − ω , ou seja: ˆ + βm∗ + IV ˆ =α·p H (4.21) Onde m∗ ´ e definido na equa¸ c˜ ao (2.3). A transformada de Wigner de tal hamiltoniana ´ e igual ` a sua contrapartida cl´ assica (CENTELLES, 1992) e, portanto, independente de , e seu respectivo propagador em ordem zero ´ e dado por (CENTELLES et al., 1990): 53 G0 = exp (−ηHw ) = exp [−η (α · p + βm∗ )] exp (−ηIV )   k k η η k k−1 =  I− (α · p + βm∗ ) exp (−ηV ) k! k! k par k impar = Icosh (η ) − sinh (η ) (α · p + βm∗ ) exp (−ηV ) (4.22) Onde = p2 + m∗2 2 ´ e a rela¸ c˜ ao de dispers˜ ao da part´ ıcula efetiva. Observemos que as fun¸ c˜ oes hiperb´ olicas podem ser escritas em fun¸ c˜ ao de exponenciais, o que deixa claro que a expans˜ ao do propagador da forma que realizamos separa as solu¸ c˜ oes de energia positiva e ´ poss´ negativa, ao menos para a ordem 0. E ıvel ver pela estrutura da equa¸ c˜ ao (4.18), no entanto, que essa propriedade desejada ´ e mantida para todas as ordens da expans˜ ao. Agora, vamos obter a matriz densidade em ordem 0. Das defini¸ c˜ oes da transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao degrau e da derivada de uma transformada de Laplace, temos: exp [−η (V ± )] η ∂n Θ (λ − V ∓ ) ∂λn 1 ˜ −1 = L η →λ ηn = (4.23) TELLES, E portanto, o termo de ordem 0 para a matriz densidade ´ e (CEN1992): Θ (λ+ − V − ) 1 I + (α · p + βm∗ ) + 2 Θ (λ− − V + ) 1 I − (α · p + βm∗ ) 2 R0 = (4.24) Para ordem 1, separamos o resultado para energias positivas: R+ 1 = R1,I + R1,β + R1,α + R1,γ (4.25) As partes do resultado s˜ ao dadas por produtos da fun¸ c˜ ao degrau e de suas derivadas, com argumento λ+ − − V (CENTELLES, 1992). 54 R1,I = R1,β = 1 ( δ + Θ) γ 5 α · p × ∇V 4 3 1 ( δ + Θ) γ 5 γ · p × ∇m∗ 4 3 R1,α = 0 (4.26) (4.27) (4.28) R1,γ = −i m∗ ( δ + Θ) γ · ∇V 4 3 + 2 δ γ · ∇m ∗ (4.29) Das equa¸ c˜ oes acima, podemos perceber que a parte de energia positiva da matriz densidade de ordem 1 tem tra¸ co nulo, e que portanto ela n˜ ao ser´ a importante no c´ alculo das quantidades de interesse. Podemos separar tamb´ em R+ entica: 2 de maneira idˆ R+ 2 = R2,I + R2,β + R2,α + R2,γ Com (CENTELLES, 1992): 1 { 48 5 2 (4.30) R2,I = 2 δ + 3 δ + 3δ [ 2 2 ∇V 2 − p · ∇V 2 +m∗2 ∇m∗ + −3 3 2 + m∗ p · ∇ m∗ + p · ∇m∗ 2 2 ] δ + 3 2 δ + 6 δ + 6Θ [ p · ∇ 2 V + 2m∗ ∇V · ∇m∗ ] δ + 2 δ + 2Θ ∇2 V − 3 2 m∗ ( δ + δ ) ∇2 m∗ } I (4.31) 55 R2,β = 1 {m∗ 48 7 −m∗ 3 2 3 2 δ − 3 δ − 3Θ ∇V 2 δ + 6 2 δ + 15 δ + 15Θ [ p · ∇V 2 −m∗2 ∇m∗ −3 2 2 − m∗ p · ∇ 2 m∗ − p · ∇m∗ 2 2 ] 2 δ + 3 δ + 3Θ 2 2m∗ ∇m∗ 2 + p·∇ m∗ +m∗ −3 −3 4 2 2 δ +3 δ +3 δ p·∇ V + 2m∗ ∇V · ∇m∗ ( δ + δ ) 2 ∇V · ∇m∗ + m∗ ∇2 V m∗2 δ − 3p 2 δ − 3p2 Θ ∇2 m∗ } β (4.32) R2,α = 1 { 48 7 − 3 2 3 2 δ − 3 δ − 3Θ ∇V 2 δ + 6 2 δ + 15 δ + 15Θ [ p · ∇V 2 −m∗2 ∇m∗ + 2 4 2 − m∗ p · ∇ 2 m∗ − p · ∇m∗ 2 2 ] δ + 3 δ + 3δ p·∇ 2 2 V + 2m∗ ∇V · ∇m∗ −3 + ( δ + δ ) ∇2 V − 3m∗ 2 δ + 3 δ + 3Θ ∇2 m∗ } (α · p) α · ∇V (4.33) 1 { 8 5 δ + 3 δ + 3Θ [ p · ∇V α · ∇m∗ ]} − p · ∇m ∗ R2,γ = i 8 5 2 δ + 3 δ + 3Θ p · ∇V × ∇m ∗ γ5β (4.34) ´ poss´ E ıvel, em seguida, utilizar as express˜ oes para a matriz densidade relativ´ ıstica, obtidas at´ e segunda ordem em , para calcular as expans˜ oes WK da densidade e densidade de energia, tamb´ em at´ e a seˆ ´ gunda ordem. O valor esperado de um operador qualquer O e dado 56 pela seguinte f´ ormula: 1 (2π ) 3 ˆ = O dr ˆ)R ˆ) ˆ (r, p ˆ (r, p dp T r+ O w (4.35) Na qual a transformada do produto de dois operadores ´ e dada pela equa¸ c˜ ao (3.57), e o tra¸ co dos operadores ´ e tomado considerando apenas os estados de energia positiva, ou seja, descartando qualquer contribui¸ c˜ ao de antipart´ ıculas. Para o caso dos operadores que vamos utilizar, podemos simplificar a express˜ ao do valor esperado at´ e segunda ordem, resultando (CENTELLES et al., 1990; CENTELLES, 1992): 1 (2π ) 3 ˆ = O dr dp T r+ Ow R0 + 2 R2 (4.36) Visto que os demais termos que entram na express˜ ao s˜ ao iguais a zero, como o tra¸ co computado a partir da componente R1 , ou se anulam ap´ os a realiza¸ c˜ ao de uma m´ edia angular nos momentos. ˜ 4.2 EXPRESSOES WIGNER-KIRKWOOD DA DENSIDADE E ENERGIA Finalmente estamos em condi¸ c˜ oes de obter as express˜ oes WK que desejamos at´ e a segunda ordem, ou seja, a aproxima¸ c˜ ao de ThomasFermi estendida. Vamos primeiro calcular a ordem zero da express˜ ao WK para as densidades de part´ ıculas e de energia para cada tipo de n´ ucleon, segundo a equa¸ c˜ ao acima e as express˜ oes para a matriz densidade relativ´ ıstica. Este c´ alculo, naturalmente, coincide com as express˜ oes obtidas na aproxima¸ c˜ ao de Thomas-Fermi. Para a densidade bariˆ onica, ˆ = I , e ent˜ temos O ao: 1 (2π ) 1 (2π ) 3 ρ0 = = dp T r+ [R0 ] dp T r{ Θ (λ − V − ) 1 I + (α · p + βm∗ ) } 2 (4.37) 3 Para o c´ alculo dos tra¸ cos das diversas partes da matriz densidade, 57 notamos que: T rαi = T rβ = T rγi = 0, T rI = 4 zero: 1 (2π ) 1 (2π ) 3 (4.38) Portanto, para o nosso c´ alculo da densidade bariˆ onica em ordem ρ0 = = dp T r Θ (λ − V − ) I 2 (4.39) 3 1 dp Θ (λ − V − ) · 4 2 Definindo o momento e a energia de Fermi: kF = (λ − V ) − m∗2 F 2 = λ − V = kF + m∗2 2 1 2 (4.40) 1 2 (4.41) Temos que λ−V − = F − = 2 + m∗2 − kF p2 + m∗2 (4.42) Θ (λ − V − ) = Θ (kF − p) Dessa forma, 1 4π 2π 3 1 π2 kF 3 kF 3π 2 (4.43) ρ0 = dp p2 2Θ (kF − p) = dp p2 = 0 (4.44) Onde ´ e trivial especificar a densidade de pr´ otons ou nˆ eutrons. Estas s˜ ao precisamente as express˜ oes usuais para o resultado da densidade de part´ ıculas no caso da aproxima¸ c˜ ao de Thomas-Fermi. No caso ˆ = α ·ˆ da densidade de energia, temos O p + βm∗ + IV , e ent˜ ao: 58 0 = = 1 (2π ) 1 (2π ) 3 dp T r+ ˆ + βm∗ + IV R0 α·p Θ (λ − V − ) 2 3 ˆ + βm∗ + IV dp T r{ α · p 1 ˆ + βm∗ α·p dp } × I+ = 1 3 Θ (λ − V − ) ˆ + βm∗ I T r{ α · p 2 (2π ) ˆ + βm∗ 1 α · p ˆ + βm∗ + α·p +IV I + 1 ˆ + βm∗ α·p } = 1 (2π ) 3 dp Θ (λ − V − ) 1 ˆ + βm∗ {T r[ α·p 2 ˆ + βm∗ ] + T r (IV )} × α·p = 1 (2π ) 3 dp Θ (λ − V − ) T r(γ 0 γγ 0 γp2 + γ 0 γ 0 γpm∗ 2 +γ 0 γγ 0 pm∗ + γ 0 γ 0 m∗2 ) + V ρ0 Θ (λ − V − ) 1 dp T r γ 0 γγ 0 γp2 + γ 0 γ 0 m∗2 + V ρ0 = 3 2 (2π ) (4.45) Onde foi utilizada a propriedade de que o tra¸ co de um n´ umero ´ ımpar de matrizes γ ´ e igual a 0. A seguir, utilizamos as f´ ormulas do tra¸ co de duas e quatro matrizes γ para o nosso c´ alculo. Em nossa nota¸ c˜ ao, g µν ´ e a m´ etrica de Minkowski e i = 1,2,3. 59 0 = 1 (2π ) 3 dp Θ (λ − V − ) [4 g 0i g 0i − g 00 g ii + g 0i g i0 p2 2 = = = +4g 00 m∗2 ] + V ρ0 1 Θ (λ − V − ) dp 4p2 + 4m∗2 + V ρ0 3 2 (2π ) 4 Θ (λ − V − ) 2 1 1 4π dp p2 p + m∗2 + V ρ0 2 8π 3 1 Θ (λ − V − ) dp p4 π2 1 Θ (λ − V − ) + 2 dp p2 m∗2 + V ρ0 (4.46) π Onde o fator 4π vem da integra¸ c˜ ao angular no espa¸ co dos momentos. As integrais que obtivemos tˆ em as seguintes solu¸ c˜ oes: Θ (λ − V − ) Θ (kF − p) p2 + m∗2 dp p4 = { + = = dp p4 m∗2 + p2 3 ∗4 m ln 2 8 m ∗2 + 2 kF 3m∗2 p p3 − 4 8 kF p2 + m∗2 + p 3 3m∗2 kF kF − 4 8 } 0 = 3 2 + m∗2 + k + m∗4 ln 2 kF F 8 3 kF 3m∗2 kF 3 − + m∗4 ln F 4 8 8 √ 3 − m∗4 ln 2 m∗2 8 F + kF (4.47) m∗ 60 dp p2 m∗2 = 1 ∗2 m p 2 Θ (λ − V − ) = dp p2 m∗2 Θ (kF − p) p2 + m∗2 kF 1 m∗2 + p2 − m∗4 ln 2 2 1 ∗2 2 − 1 m∗4 ln 2 m kF m∗2 + kF = 2 2 √ 1 + m∗4 ln 2 m∗2 2 1 ∗2 1 F + kF = m kF F − m∗4 ln 2 2 m∗ fica: 1 π2 3 F kF p 2 + m ∗2 + p 0 2 + m∗2 + k kF F (4.48) Dessa forma, o termo de ordem zero para a densidade de energia 0 = 4 + m ∗2 k F 8 F − m∗4 ln 8 F + kF m∗ + V ρ0 (4.49) Ou, utilizando a defini¸ c˜ ao de kF para reorganizar os termos: 1 8π 2 F 0 = 3 F kF + kF 3 F − m∗4 ln + kF m∗ + V ρ0 (4.50) Novamente, observamos que o resultado obtido corresponde ` as express˜ oes usuais para a densidade de energia no modelo TF, como era esperado. A densidade escalar tamb´ em pode ser calculada, tomando ˆ = β . Dessa maneira (CENTELLES, 1992): O 1 (2π ) 1 (2π ) 3 ρs,0 = = dp T r+ [β R0 ] dp T r{β Θ (λ − V − ) 2 (4.51) 3 I+ 1 (α · p + βm∗ ) } Utilizando novamente as propriedades do tra¸ co das matrizes envolvidas e a integral (4.48): 61 ρs,0 = = = 1 (2π ) 1 (2π ) 1 3 dp dp dp Θ (λ − V − ) 1 ˆ + βm∗ T r βI + β α·p 2 Θ (λ − V − ) 1 0 0 T r γ0 + γ γ γp + γ 0 γ 0 m∗ 2 Θ (λ − V − ) 00 ∗ 4g m 2 3 (2π ) Θ (λ − V − ) ∗ 1 1 4π dp p2 m = 4 2 8π 3 1 Θ (λ − V − ) = dp p2 m∗ 2 π m∗ F + kF = kF F − m∗2 ln 2 2π m∗ 3 (4.52) A seguir, apresentamos sem demonstrar os valores da expans˜ ao WK da densidade de part´ ıculas, densidade de energia e densidade escalar em segunda ordem, visto que o procedimento de obten¸ c˜ ao das express˜ oes ´ e demasiado longo. As express˜ oes foram obtidas pelos autores das referˆ encias (CENTELLES et al., 1990; CENTELLES, 1992), e podem ser encontradas a´ ı. Definindo xF = F /kF , 2 1 1 3 − x2 ∇V − 2xF + 4ln { F 2 24π kF 1 xF ∇V · ∇m∗ + 2 − x2 +2 ∗ 3 − x2 F F m kF kF 2 ∗ +2 ∗ 1 − x2 F ∇ m } m F ρ2 = + kF m∗ ∇m∗ 2 ∇2 V (4.53) 2 = 2 1 F + kF ∇V { xF 2 − x2 F − 2ln 2 ∗ 24π m ∗ m 2 −2kF 1 + x2 1 − x2 ∇V · ∇m∗ F ∇ V +2 F kF 2 F + kF + xF 1 − x2 ∇m ∗ F − ln ∗ m F + kF −2m∗ xF − ln ∇2 m∗ } + V ρ2 (4.54) m∗ 62 ρs,2 = 2 1 xF m∗ 2 { ∗ 1 + x2 ∇V + 2 ∇ V F 2 24π m kF 2 xF 2 + x2 + ∇ V · ∇m ∗ + ∗ 2 + x 2 F F kF m F + kF ∇2 m∗ } + 2xF − 6ln m∗ − ∇m∗ 2 (4.55) Temos ent˜ ao express˜ oes para a densidade de part´ ıculas, densidade de energia e densidade escalar at´ e segunda ordem, dadas por ρ = ρ0 + ρ2 , = 0 + 2 . e ρs = ρs,0 + ρs,2 respectivamente. 63 ˜ NA FASE PASTA FRIA EM ESTRELAS 5 APLICAC ¸ AO ˆ DE NEUTRONS Nosso prop´ osito nesta disserta¸ c˜ ao ´ e analisar propriedades da fase pasta que se sup˜ oe formar parte da crosta das estrelas de nˆ eutrons, especificamente, nas configura¸ c˜ oes tridimensionais (gota e bolha). Vamos descrever a mat´ eria que comp˜ oe essa fase como uma mat´ eria nuclear npe, ou seja, composta de pr´ otons, nˆ eutrons e el´ etrons, com diferentes fra¸ c˜ oes de pr´ otons, desconsiderando o equil´ ıbrio beta. Utilizaremos nesta descri¸ c˜ ao a parametriza¸ c˜ ao NL3 do modelo de Walecka n˜ ao linear ` a temperatura T = 0, de maneira similar ao realizado na referˆ encia (AVANCINI et al., 2008). Particularmente, entretanto, utilizaremos o modelo de Thomas-Fermi estendido para obter as densidades e energias. Neste modelo semicl´ assico, como foi descrito anteriormente, obt´ em-se uma expans˜ ao em ordens de das densidades e energias, permitindo solu¸ c˜ oes mais pr´ oximas daquelas que seriam obtidas com modelos puramente quˆ anticos. Utilizaremos aqui a expans˜ ao at´ e segunda ordem e compararemos com o c´ alculo realizado pelo modelo de Thomas-Fermi, ou seja, com as express˜ oes at´ e ordem zero. Neste cap´ ıtulo, descrevemos brevemente dois aspectos importantes do algoritmo que calcula, entre outras grandezas, a energia em fun¸ c˜ ao da densidade bariˆ onica global: A obten¸ c˜ ao dos potenciais qu´ ımicos, necess´ ario para estabelecer um n´ umero fixo de part´ ıculas e neutralidade de carga na c´ elula de Wigner-Seitz, e o c´ alculo auto-consistente dos potenciais a partir das densidades, atrav´ es da expans˜ ao dos campos em uma base de oscilador harmˆ onico. ´ 5.1 CALCULO DOS POTENCIAIS QU´ IMICOS No cap´ ıtulo 2, j´ a obtivemos a express˜ ao para a hamiltoniana de um sistema de mat´ eria npe na aproxima¸ c˜ ao de Thomas-Fermi estendida (2.53). Com o aux´ ılio desta u ´ltima equa¸ c˜ ao, pode-se escrever a energia como um funcional da densidade: 64 ET F E = d3 r i=p,n,e i (r ) + 1 2 (∇φ(r))2 + m2 s φ (r ) 2 κ λ 1 2 + φ3 ( r ) + φ4 ( r ) − (∇V0 (r))2 + m2 v V0 (r ) 6 24 2 1 1 2 +gv V0 (r)ρ(r) − (∇b0 (r))2 + m2 ρ b0 (r ) + gρ b0 (r )ρ3 (r ) 2 2 2 1 − ∇A0 (r) + e(ρp (r) − ρe (r))A0 (r) (5.1) 2 Com o termo cin´ etico dos nucleons dado por: ˆ† −iα · ∇ + βm∗ ψ ˆ = ψ N (r ) = p (r ) + n (r ) (5.2) E uma express˜ ao equivalente para o el´ etron, trocando m∗ por ´ mais pr´ E atico reescrever a energia de uma forma diferente, utilizando as equa¸ c˜ oes de movimento: λ κ 3 φ (r ) − φ4 ( r ) 12 24 me . ET F E = d3 r i=p,n,e i (r ) − 1 1 + gs φ(r)ρs (r) + gv V0 (r)ρ(r) 2 2 1 1 + gρ b0 (r)ρ3 (r) + e(ρp (r) − ρe (r))A0 (r) 2 2 A defini¸ c˜ ao do grande potencial termodinˆ amico ´ e: Ω = E − TS − i=p,n,e (5.3) µi Bi (5.4) Onde E, T e S s˜ ao a energia, a temperatura e a entropia do sistema, respectivamente, µi ´ e o potencial qu´ ımico para cada esp´ ecie e Bi ´ e o n´ umero de pr´ otons, nˆ eutrons ou el´ etrons ou seja: Bi = d3 r ρi (r) (5.5) Dessa maneira, ` a temperatura zero obt´ em-se: 65 Ω = ET F E [ρi ] − i=p,n,e µi d3 r ρi (r) (5.6) Minimizando o grande potencial termodinˆ amico acima com o v´ ınculo adicional de um n´ umero constante de pr´ otons, nˆ eutrons e el´ etrons, obt´ em-se as seguintes equa¸ c˜ oes: 1 1 2 (kF (r) + m∗2 (r)) 2 + gv V0 (r) + gρ b0 (r) + eA0 (r) = µp p 2 (5.7) 1 1 2 (kF (r) + m∗2 (r)) 2 + gv V0 (r) − gρ b0 (r) = µn n 2 (5.8) (5.9) 2 2 (kF (r) + m2 e (r )) − eA0 (r ) = µe e 1 Dadas as densidades tentativas iniciais, a subrotina principal do nosso programa calcula primeiro os campos e ent˜ ao os potenciais qu´ ımicos, de forma a assegurar que o n´ umero de pr´ otons e nˆ eutrons sejam fixos dentro da c´ elula, e que haja tamb´ em neutralidade de carga, ou seja, o n´ umero de el´ etrons seja igual ao de pr´ otons. Em cada itera¸ c˜ ao, ajusta-se o potencial qu´ ımico ` as quantidades corretas. Na aproxima¸ c˜ ao de Thomas-Fermi, isto equivale a realizar o seguinte processo: d3 r ρi (r) = d3 r 3 kF (r ) i = 3π 2 Z se i = p, e N se i = n (5.10) Para realizar a inclus˜ ao das corre¸ c˜ oes de segunda ordem de obtidas pelo m´ etodo de Thomas-Fermi estendido, faz-se necess´ ario computar a contribui¸ c˜ ao dos novos termos para a densidade (4.51), de maneira perturbativa (VON-EIFF; WEIGEL, 1992). Seja a densidade dada por ρi = 3 kF (r ) i 3π 2 F + ρET (r), temos: i d3 r ρi (r) = = d3 r 3 kF (r) F i + ρET (r) = i 3π 2 Z = ZT F + ZT F E se i = p, e N = NT F + NT F E se i = n (5.11) De maneira que agora calculamos as corre¸ c˜ oes ZT F E e NT F E a partir dos campos e ajustamos os potenciais qu´ ımicos ` as quantidades ZT F = Z − ZT F E e NT F = N − NT F E em vez de simplesmente Z e N. 66 ˜ DAS EQUAC ˜ 5.2 SOLUC ¸ AO ¸ OES DE KLEIN-GORDON As equa¸ c˜ oes de movimento (equa¸ c˜ oes de Klein-Gordon) referentes aos campos mesˆ onicos e eletromagn´ etico (2.62) - (2.65) foram obtidas tamb´ em no cap´ ıtulo 2 deste trabalho, e agora procedemos ` a maneira de resolvˆ e-las numericamente. Uma maneira de solucionar essas equa¸ c˜ oes ´ e realizar a expans˜ ao dos campos na base de um oscilador harmˆ onico em trˆ es, duas, ou uma dimens˜ ao, dependendo do tipo de estrutura que se deseja estudar. Expandiremos por raz˜ oes de simetria dos campos envolvidos apenas na base dos osciladores com o n´ umero quˆ antico do momento angular orbital nulo, ou seja l=0. Aqui, nos ateremos ` a solu¸ c˜ ao das equa¸ c˜ oes para o caso 3D, ou seja, para as estruturas gota e bolha, com simetria esf´ erica. A base desse oscilador 3D em coordenadas esf´ ericas ´ e dada pela fun¸ c˜ ao ψn (r) = Φn (r)Y00 (Ω), 1 com Y00 (Ω) = 2 Φ(r) dado por: 1 π correspondendo ao harmˆ onico esf´ erico com l=0, e Φn (r) = 2 2 Γ(n) 2 3 2 1 1 1 2 Ln −1 (− 1 1 2 bB Γ(n + 2 ) r2 r2 ) exp ( − ), n = 1, 2, 3, ... b2 2b2 B B (5.12) e o polinˆ omio de Laguerre associado, e bB ´ e o compriOnde Lm n ´ mento do oscilador. Essa base satisfaz a condi¸ c˜ ao de normaliza¸ c˜ ao: ∞ dr r2 Φn (r)Φn (r) = δnn 0 (5.13) As equa¸ c˜ oes de Klein-Gordon radiais reduzem-se a uma forma condensada: − d 2 d + m2 − ξ ξ = sξ 2 dr r dr (5.14) Onde o termo ξ representa os campos mesˆ onicos e sξ as suas fontes. Essas equa¸ co ˜es s˜ ao ent˜ ao resolvidas por um procedimento autoconsistente. Expandimos os campos e as fontes da seguinte maneira: NB ξ (r) = i=1 ai φi (r) (5.15) 67 NB sξ (r) = i=1 bi φ i ( r ) (5.16) Substituindo as express˜ oes para os campos e as fontes na equa¸ c˜ ao de Klein-Gordon (5.14), obt´ em-se um sistema matricial de equa¸ c˜ oes caracterizadas por uma forma tri-diagonal. Em 3D, tomando o produto com Φn | de ambos os lados, podemos ver que o lado esquerdo da equa¸ c˜ ao ´ e proporcional a: d 2 d − + m2 ξ Φn 2 dr r dr 3 1 2 (n − 1) + + m2 ξ δnn 2 bB 2 1 b2 B 1 b2 B n n + 1 δn n +1 2 (5.17) Φn − = + + n n+ 1 δn+1 n 2 Para a equa¸ c˜ ao correspondente ao campo eletromagn´ etico, temos convergˆ encia lenta devido ao car´ ater de longo alcance da intera¸ c˜ ao. Por isso, resolvemos a equa¸ c˜ ao (2.65) de maneira diferente, utilizando a fun¸ c˜ ao de Green para trˆ es dimens˜ oes, G3D (r, r ), atrav´ es da qual podemos escrever: ∞ A0 (r) = 0 dr r 2 G3D (r, r )ρch (r ) (5.18) Com a densidade de carga ρch (r ) = e(ρp (r ) − ρe (r )), e G3D (r, r ) = 1 r> (5.19) Onde r> corresponde a r se r > r’ e a r’ se r’ > r. A contribui¸ c˜ ao total do campo eletromagn´ etico para a energia pode ser calculada pela equa¸ c˜ ao: EC = 4πα 2 1 d3 r (ρp (r) − ρe (r)) A0 (r) e 2 (5.20) Onde o termo 4πα, com α = 4πe0 c , a constante de estrutura fina, foi adicionado para obtermos a energia em unidades mais convenientes, de [f m−1 ]. 68 69 ˜ 6 RESULTADOS E DISCUSSAO Apresentamos aqui os resultados do c´ alculo num´ erico realizado, em que tentamos obter um refinamento dos resultados para a aproxima¸ c˜ ao TF presentes nas referˆ encias (AVANCINI et al., 2008; MARUYAMA et al., 2006), ao mesmo tempo em que nos baseamos nos mesmos para verificar a confiabilidade das solu¸ c˜ oes. O uso das c´ elulas de WignerSeitz nos permite tra¸ car o perfil de densidade da mat´ eria nuclear, isto ´ e, como ela se distribui dentro da c´ elula. No entanto isto tamb´ em constitui uma limita¸ c˜ ao, o que se reflete no fato de que temos de escolher geometrias esfericamente sim´ etricas (no caso tridimensional, que estamos estudando), onde na realidade podem aparecer estruturas intermedi´ arias. Mostramos tamb´ em a energia total por part´ ıcula obtida para as geometrias gota e bolha para determinadas fra¸ c˜ oes de pr´ otons, em uma faixa de densidade bariˆ onica global que vai de 0.02 f m−3 a 0.16 f m−3 , aproximadamente a densidade de satura¸ ca ˜o. Com esses dados, podemos fazer suposi¸ c˜ oes sobre a geometria do estado fundamental para cada densidade global dada, no entanto faltam-nos as informa¸ c˜ oes referentes ` as fases com geometria do tipo bast˜ ao, tubo e placa, com as quais poder´ ıamos apresentar um panorama mais completo. Obtivemos, entretanto, por um m´ etodo atrelado ao c´ alculo da tens˜ ao superficial da mat´ eria nuclear, as densidades para as quais as geometrias caracter´ ısticas da pasta n˜ ao constituem mais o estado fundamental, este sendo ocupado pela fase homogˆ enea. Em todos os nossos c´ alculos, foi utilizada a parametriza¸ c˜ ao NL3 do modelo de Walecka n˜ ao-linear, cujos valores dos parˆ ametros s˜ ao dados na tabela (1), abaixo. 70 Parˆ ametro M ms mv mρ gs gv gρ κ λ ρ0 Valor 939 MeV 508.194 MeV 782.501 MeV 763 MeV 10.217 12.868 4.474 20.862 -173.31 0.153 f m−3 Tabela 1 – Valores dos parˆ ametros para a parametriza¸ ca ˜o NL3 71 6.1 PERFIS DE DENSIDADE A seguir, os gr´ aficos dos perfis de densidade para a geometria gota, com a densidade bariˆ onica global de 0.02 f m−3 . Os gr´ aficos representam a densidade de nˆ eutrons (n), pr´ otons (p) e el´ etrons (e) em fun¸ c˜ ao do raio para a c´ elula de Wigner-Seitz. A regi˜ ao onde os dados terminam representa a borda da c´ elula. Figura 1 – Densidade de pr´ otons, nˆ eutrons e el´ etrons na c´ elula para a geometria gota e Yp = 0.5 Figura 2 – Densidade de pr´ otons, nˆ eutrons e el´ etrons na c´ elula para a geometria gota e Yp = 0.4 72 Figura 3 – Densidade de pr´ otons, nˆ eutrons e el´ etrons na c´ elula para a geometria gota e Yp = 0.3 Figura 4 – Densidade de pr´ otons, nˆ eutrons e el´ etrons na c´ elula para a geometria gota e Yp = 0.2 73 Figura 5 – Densidade de pr´ otons, nˆ eutrons e el´ etrons na c´ elula para a geometria bolha e Yp = 0.5 Figura 6 – Densidade de pr´ otons, nˆ eutrons e el´ etrons na c´ elula para a geometria bolha e Yp = 0.4 74 Figura 7 – Densidade de pr´ otons, nˆ eutrons e el´ etrons na c´ elula para a geometria bolha e Yp = 0.3 Figura 8 – Densidade de pr´ otons, nˆ eutrons e el´ etrons na c´ elula para a geometria bolha e Yp = 0.2 75 Podemos notar como a mat´ eria nuclear na geometria gota se configura na forma de uma regi˜ ao de grande densidade de b´ arions pr´ oximo ao centro da c´ elula, que vai se tornando menos densa e eventualmente se torna nula conforme nos aproximamos da borda, exceto no caso dos el´ etrons, que preenchem a c´ elula de maneira aproximadamente uniforme. Na geometria bolha, a configura¸ c˜ ao das densidades se inverte, com uma regi˜ ao de densidade bariˆ onica baixa ou nula pr´ oxima ao centro da c´ elula e densidades maiores conforme nos aproximamos da borda. As densidades bariˆ onicas s˜ ao menores nesse caso devido ao volume maior que corresponde ` as regi˜ oes externas da c´ elula. Para fra¸ c˜ oes de pr´ otons mais baixas, no entanto, ocorre o fenˆ omeno conhecido como neutron drip, onde uma densidade relativamente pequena por´ em n˜ ao desprez´ ıvel de nˆ eutrons “escapa” para regi˜ oes mais externas da c´ elula no caso da geometria gota, e para regi˜ oes mais internas no caso da geometria bolha. A fra¸ c˜ ao de pr´ otons para a qual isso acontece depende da geometria e das caracter´ ısticas do c´ alculo, como mostramos na tabela (2): Geometria Gota (TFE) Gota (TF) Bolha (TFE) Bolha (TF) Yp 0.37 0.30 0.29 0.20 Tabela 2 – Fra¸ c˜ oes de pr´ otons m´ aximas para a ocorrˆ encia do neutron drip 6.2 ENERGIA POR PART´ ICULA A seguir, mostramos graficamente a energia total por part´ ıcula para a geometria gota em duas fra¸ c˜ oes de pr´ otons diferentes, Yp = 0.5 e Yp = 0.3. A linha s´ olida indica o c´ alculo realizado utilizando a aproxima¸ c˜ ao TFE, enquanto a linha intermitente indica aquele realizado utilzando a aproxima¸ c˜ ao TF. Acreditamos que o aparecimento de pontas mais ou menos suaves nos gr´ aficos TFE seja o resultado de irregularidades no c´ alculo num´ erico. 76 Figura 9 – Energia total por part´ ıcula para a geometria gota, com fra¸ ca ˜o de pr´ otons Yp = 0.5 (TF e TFE) Figura 10 – Energia total por part´ ıcula para a geometria gota, com fra¸ ca ˜o de pr´ otons Yp = 0.3 (TF e TFE) 77 Nas figuras (9) e (10) percebemos que a corre¸ c˜ ao TFE aumentou ligeiramente a energia por part´ ıcula para densidades de at´ e 0.12 f m−3 −3 para a fra¸ c˜ ao de pr´ otons Yp = 0.5 e at´ e 0.10 f m para a fra¸ c˜ ao de pr´ otons Yp = 0.3. Esse tipo de altera¸ c˜ ao era esperada para uma corre¸ c˜ ao de segunda ordem como ´ e o caso da aproxima¸ c˜ ao TFE. Observamos tamb´ em que as energias para a fra¸ c˜ ao de pr´ otons menor s˜ ao bastante mais baixas em toda a faixa de densidades, devido ` a diminui¸ c˜ ao da energia da intera¸ c˜ ao coulombiana. Em ambas as geometrias, os resultados TFE se aproximam dos resultados TF a partir da densidade de 0.12 f m−3 . Isto coincide aproximadamente com a transi¸ c˜ ao da fase pasta para a fase homogˆ enea, que analisaremos mais adiante. Em seguida, na figura (11), exibimos a energia total por part´ ıcula para a geometria bolha com a fra¸ c˜ ao de pr´ otons Yp = 0.5. Diferentemente dos casos analisados anteriormente (geometria gota) o efeito da corre¸ c˜ ao de segunda ordem foi abaixar a energia por part´ ıcula para densidades globais menores que 0.10 f m−3 , incluindo uma corre¸ c˜ ao particularmente grande para densidades mais baixas, na regi˜ ao de 0.02 f m−3 a 0.06 f m−3 . Figura 11 – Energia total por part´ ıcula para a geometria bolha, com fra¸ ca ˜o de pr´ otons Yp = 0.5 (TF e TFE) 78 Na figura (12), comparamos o comportamento da energia para as geometrias gota e bolha, ambas com fra¸ c˜ ao de pr´ otons Yp = 0.5 e na ´ vis´ aproxima¸ c˜ ao TFE. E ıvel como a queda acentuada na energia da fase bolha faz com que esta esteja bem abaixo da energia da fase gota para densidades de 0.02 f m−3 a 0.08 f m−3 . Na faixa entre as densidades de 0.08 f m−3 a 0.12 f m−3 , contudo, acontece o oposto. Figura 12 – Compara¸ ca ˜o da energia total por part´ ıcula para as geometrias gota e bolha, com fra¸ c˜ ao de pr´ otons Yp = 0.5 (TFE) Figura 13 – Compara¸ ca ˜o da energia total por part´ ıcula para as geometrias gota e bolha, com fra¸ c˜ ao de pr´ otons Yp = 0.5 (TF) 79 J´ a na figura (13), fazemos uma compara¸ c˜ ao an´ aloga, mas na aproxima¸ c˜ ao TF. Pode-se observar como a energia da fase gota ´ e um pouco menor do que a da fase bolha na regi˜ ao de densidades entre 0.02 f m−3 e 0.5 f m−3 , e um pouco maior entre 0.05 f m−3 e 0.12 f m−3 . Esse resultado ´ e particularmente interessante porque nos leva ` a suposi¸ c˜ ao de que, ao levar em conta a corre¸ c˜ ao devido aos termos de segunda ordem, a fase bolha seja o estado fundamental em ao menos parte da faixa de baixas densidades, enquanto que a fase gota possivelmente o ´ e em uma regi˜ ao intermedi´ aria, o que ´ e o inverso do que se obt´ em quando ignora-se a corre¸ c˜ ao. Resultados concordantes com a nossa an´ alise do caso TF encontram-se na referˆ encia (AVANCINI et al., 2008). Finalmente, em densidades altas, o estado fundamental da mat´ eria nuclear tende a ser ocupado pela fase homogˆ enea. Quando isso acontece, temos que a tens˜ ao superficial da mat´ eria nuclear ´ e igual a zero, o que equivale a dizer que n˜ ao h´ a estruturas geom´ etricas como as que encontramos na pasta. Determinamos as densidades m´ ınimas para as quais isso ocorre, utilizando a equa¸ c˜ ao (6.1) a seguir para calcular a tens˜ ao superficial σ . ∞ σ= −∞ dr ∂φ0 ∂r 2 − ∂V0 ∂r 2 − ∂b0 ∂r 2 (6.1) Esta equa¸ c˜ ao est´ a dada e demonstrada na referˆ encia (AVANCINI 2010). Rigorosamente, essa express˜ ao ´ e v´ alida somente na aproxima¸ c˜ ao de superf´ ıcie fina. Na presen¸ ca do campo coulombiano, esta aproxima¸ c˜ ao n˜ ao se aplica bem, no entanto como a intera¸ c˜ ao eletromagn´ etica n˜ ao deve influir diretamente nas propriedades de superf´ ıcie, ainda ˆ podemos utilizar a equa¸ c˜ ao (6.1) (MENEZES; PROVIDENCIA , 1999). Na tabela (3), damos os valores encontrados: et al., Yp 0.5 0.4 0.3 0.2 ρ (Gota) 0.107 0.113 0.092 0.087 ρ (Bolha) 0.114 0.107 0.098 0.086 Tabela 3 – Transi¸ ca ˜o para a fase homogˆ enea para v´ arios valores de Yp 80 81 ˜ 7 CONCLUSAO Nesta disserta¸ c˜ ao, nosso principal intento foi o de explorar uma maneira de prover um refinamento aos c´ alculos j´ a realizados na literatura do comportamento das fases ex´ oticas da mat´ eria nuclear em estrelas de nˆ eutrons utilizando o modelo de Walecka n˜ ao-linear. Tal refinamento prov´ em da expans˜ ao Wigner-Kirkwood das densidades e da energia, e da subsequente inclus˜ ao dos termos de segunda ordem em (aproxima¸ c˜ ao de Thomas-Fermi estendida) ` as express˜ oes utilizadas anteriormente em outros estudos. Este processo de adicionar a corre¸ c˜ ao proveniente do modelo TFE aos algoritmos existentes foi a principal contribui¸ c˜ ao advinda deste trabalho. Atingimos parcialmente nossos objetivos, visto que, apesar de termos confian¸ ca no m´ etodo empregado, nosso algoritmo foi incapaz de produzir resultados satisfat´ orios para fra¸ c˜ oes de pr´ otons baixas devido a problemas de implementa¸ c˜ ao, e que algumas flutua¸ c˜ oes num´ ericas n˜ ao puderam ser totalmente eliminadas. No entanto, v´ arios dos nossos resultados apresentaram maior confiabilidade, em particular para a mat´ eria nuclear sim´ etrica. Obtivemos curvas para a energia que se aproximam dos resultados originais (Thomas-Fermi), por´ em acrescentam a eles uma corre¸ c˜ ao da ordem de 1-10% em grande parte da faixa de densidades. Encontramos tamb´ em os valores da densidade global para os quais a fase pasta deixa de ser relevante e d´ a lugar a uma fase homogˆ enea. Nossos dados indicaram tamb´ em uma invers˜ ao nas geometrias dos estados fundamentais da pasta quando as corre¸ c˜ oes de segunda ordem s˜ ao adicionadas ao c´ alculo, um efeito que n˜ ao esper´ avamos a princ´ ıpio. No entanto, estados ligados ` as geometrias bolha e gota s˜ ao praticamente degenerados, e uma pequena corre¸ c˜ ao ´ e capaz de mudar os estados mais favor´ aveis. Ser´ a de grande importˆ ancia a continua¸ c˜ ao do estudo desse problema para determinar se de fato este ´ e um efeito f´ ısico ou se foi introduzido por defeitos num´ ericos. Em nosso trabalho com o algoritmo, detectamos poss´ ıveis entraves a ser resolvidos, de forma que a eficiˆ encia e precis˜ ao dos c´ alculos possam ser melhoradas. O principal deles ´ e o c´ alculo num´ erico das derivadas e do laplaciano dos momentos de Fermi utilizados para o c´ alculo das corre¸ c˜ oes de segunda ordem. Uma solu¸ c˜ ao que est´ a em fase de implementa¸ c˜ ao ao final deste trabalho ´ e o c´ alculo anal´ ıtico de tais derivadas a partir das expans˜ oes dos campos na base do oscilador harmˆ onico que, supomos, resultar´ a em uma melhora na convergˆ encia do programa. Outra possibilidade que foi tentada ´ e a implementa¸ c˜ ao do 82 c´ alculo diretamente a partir das express˜ oes (4.53) - (4.55), no entanto essa t´ ecnica resultou em problemas num´ ericos que ainda n˜ ao foram resolvidos. Esperamos que com a solu¸ c˜ ao desses entraves seja poss´ ıvel estender o c´ alculo para fra¸ c˜ oes de pr´ otons menores, obtendo uma vis˜ ao mais completa do problema. Al´ em do aprimoramento do algoritmo, h´ a outras perspectivas a serem exploradas com rela¸ c˜ ao ao trabalho. O c´ alculo das estruturas com geometrias bidimensionais e unidimensionais na aproxima¸ c˜ ao Thomas-Fermi estendida ´ e uma delas. Este c´ alculo nos permitiria mapear a geometria dos estados fundamentais da pasta em fun¸ c˜ ao da densidade, um dado fundamental para analisar a ocorrˆ encia da fase pasta nas estrelas de nˆ eutrons. Outro caminho de explora¸ c˜ ao seria variar a parametriza¸ c˜ ao do modelo verificando, desta maneira, a sensibilidade dos resultados ` a mudan¸ ca dos parˆ ametros. Estudos mais extensos permitiriam tamb´ em a inclus˜ ao da temperatura no modelo, a partir das fun¸ co ˜es de distribui¸ c˜ ao para pr´ otons, nˆ eutrons e el´ etrons. Tais procedimentos j´ a foram realizados (MARUYAMA et al., 2006; AVANCINI et al., 2008, 2010) na aproxima¸ c˜ ao Thomas-Fermi, e trazem resultados importantes. 83 ˆ REFERENCIAS AVANCINI, S. et al. Warm pasta phase in the thomas-fermi approximation. Phys. Rev. C, v. 82, p. 055807–1 – 055807–10, 2010. AVANCINI, S. et al. Warm and cold pasta phase in relativistic mean field theory. Phys. Rev. C, v. 78, p. 015802–1 – 015802–12, 2008. BOGUTA, J.; BODMER, A. 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