Modelagem do efeito Aharonov-Bohm com coordenadas toroidais

Abstract

O presente relatório aborda a modelagem do efeito Aharanov-Bohm, utilizando os sistemas de coordenadas bipolares, base do sistema de coordenadas toroidais. Esse efeito revela a influência física dos potenciais eletromagnéticos na fase da função de onda de uma partícula quântica, mesmo na ausência de campos eletromagnéticos na região onde se encontra a partícula. O estudo matemático deste efeito é geralmente feito através da demonstração de propriedades do hamiltoniano associadas a fenômenos físicos, como mudança de autovalores (energia), propriedades do operador de espalhamento (scattering), ou pela evolução temporal do sistema. Mudanças de coordenadas geralmente auxiliam neste estudo e, por isso, as coordenadas bipolares são importantes neste contexto, pois estão diretamente ligadas à geometria utilizada na confirmação experimental do efeito realizada por um solenoide toroidal. Inicialmente, foi feita uma revisão da motivação física por trás do efeito e foi citada sua conexão com o experimento das duas fendas e os desafios de sua comprovação experimental. Na seção metodologia, foram apresentados os princípios fundamentais da mecânica quântica que são relevantes para a construção do hamiltoniano, incluindo os axiomas básicos e a forma geral do operador. Em seguida, as propriedades das coordenadas polares e bipolares foram discutidas, assim como suas expressões para o gradiente e o laplaciano, essenciais para a formulação do hamiltoniano nesses sistemas. Na seção de resultados, foram desenvolvidos os cálculos do hamiltoniano para uma partícula confinada no exterior de um solenoide toroidal, destacando a importância de adaptar o sistema de coordenadas à simetria do problema para facilitar a modelagem. Este estudo reforça a relevância das mudanças de coordenada na mecânica quântica e evidencia como diferentes sistemas de coordenadas podem ser utilizados para descrever de forma eficiente fenômenos com simetrias específicas.