PROPRIEDADES EQUIVALENTES À PROPRIEDADE DO SUPREMO

Abstract

Neste trabalho exibimos vários teoremas de Análise na Reta como propriedades equiva lentes a Propriedade do Supremo. Inicialmente, definimos a Propriedade Arquimediana que ao longo do trabalho relacionamos com a Propriedade do Supremo. Em seguida, de monstramos diversas equivalências em um corpo ordenado arquimediano como em um caminho fechado de dominós: Propriedade do Corte =⇒ Propriedade do Supremo =⇒ Propriedade do Ínfimo =⇒ Teorema da Sequência Monótona e Limitada =⇒ Teorema de Bolzano-Weierstrass =⇒ Cauchy-completude =⇒ Teste da Comparação Absoluta =⇒ Teste de Dirichlet =⇒ Teste da Série Alternada =⇒ Propriedade dos Intervalos Encaixados =⇒ Conexidade em Espaços Topológicos =⇒ Teorema do Anulamento =⇒ Teorema do Valor Intermediário =⇒ Teorema do Ponto Fixo =⇒ Propriedade do Corte. Depois, demonstramos equivalências que envolvem a noção de compacidade: Pro priedade dos Intervalos Encaixados =⇒ Teorema de Heine-Borel =⇒ Teorema do Valor Extremo =⇒ Propriedade do Corte. Além disso, apresentamos uma prova alternativa que permite estender o caminho fechado feito anteriormente: Teorema do Valor Extremo =⇒ Teorema do Anulamento. Finalmente, demonstramos que a Propriedade dos In tervalos Encaixados =⇒ Cauchy-completude e damos um exemplo de corpo ordenado Cauchy-completo não arquimediano, o corpo das séries formais de Laurent.